Plotten#
Sage kann zwei- und dreidimensionale Plots erzeugen.
Zweidimensionale Plots#
Sage kann in zwei Dimensionen Kreise, Linien und Polygone zeichnen, sowie Plots von Funktionen in kartesischen Koordinaten und Plots in Polarkoordinaten, Konturplots und Plots von Vektorfeldern. Wir geben davon im Folgenden einige Beispiele an. Für weitere Beispiele zum Plotten mit Sage lesen Sie Lösen von Differentialgleichungen und Maxima, sowie die Sage Constructions Dokumentation.
Dieser Befehl erstellt einen gelben Kreis vom Radius 1 mit dem Ursprung als Zentrum:
sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Sie können auch einen ausgefüllten Kreis erzeugen:
sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Sie können einen Kreis auch erstellen, indem Sie ihn einer Variable zuweisen; so wird kein Plot gezeigt.
sage: c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
Um den Plot zu zeigen, benutzen Sie c.show() oder show(c) wie
folgt:
sage: c.show()
Alternativ führt das Auswerten von c.save('filename.png') dazu,
dass der Plot in der angegebenen Datei gespeichert wird.
Noch sehen diese ‚Kreise‘ jedoch eher wie Ellipsen aus, da die Achsen unterschiedlich skaliert sind. Sie können dies korrigieren:
sage: c.show(aspect_ratio=1)
Der Befehl show(c, aspect_ratio=1) erreicht das Gleiche. Sie
können das Bild auch speichern, indem Sie c.save('filename.png',
aspect_ratio=1) benutzen.
Es ist einfach elementare Funktionen zu plotten:
sage: plot(cos, (-5,5))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Sobald Sie einen Variablennamen angegeben haben, können Sie parametrische Plots erzeugen:
sage: x = var('x')
sage: parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Es ist wichtig zu beachten, dass sich die Achsen eines Plots nur schneiden, wenn sich der Ursprung im angezeigten Bildbereich des Graphen befindet und ab einer bestimmten Größe der Werte wird die wissenschaftliche Notation benutzt:
sage: plot(x^2,(x,300,500))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Sie können mehrere Plots zusammenfügen indem Sie diese addieren:
sage: x = var('x')
sage: p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
sage: p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
sage: p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1+p2+p3, axes=false)
Eine gute Möglichkeit ausgefüllte Figuren zu erstellen ist, eine Liste
von Punkten zu erzeugen (L im folgenden Beispiel) und dann den
polygon Befehl zu verwenden um die Figur mit dem, durch die Punkte
bestimmten, Rand zu zeichnen. Zum Beispiel ist hier ein grünes Deltoid:
sage: L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
....: 2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
sage: p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Geben Sie show(p, axes=false) ein, um dies ohne Achsen zu sehen.
Sie können auch Text zu einem Plot hinzufügen:
sage: L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),
....: 6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
sage: show(p+t)
Analysis Lehrer zeichnen häufig den folgenden Plot an die Tafel: nicht nur einen Zweig von der arcsin Funktion, sondern mehrere, also den Plot von \(y=\sin(x)\) für \(x\) zwischen \(-2\pi\) und \(2\pi\), an der 45 Grad Linie gespiegelt. Der folgende Sage Befehl erzeugt dies:
sage: v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
sage: line(v)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Da die Tangensfunktion einen größeren Wertebereich als die Sinusfunktion besitzt, sollten Sie, falls Sie den gleichen Trick anwenden um die Inverse der Tangensfunktion zu plotten, das Minimum und Maximum der Koordinaten für die x-Achse ändern:
sage: v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20)
Sage berechnet auch Plots in Polarkoordinaten, Konturplots, Plots von Vektorfeldern (für besondere Arten von Funktionen). Hier ist ein Beispiel eines Konturplots:
sage: f = lambda x,y: cos(x*y)
sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
Dreidimensionale Plots#
Sage kann auch dazu verwendet werden dreidimensionale Plots zu zeichnen. Sowohl im Notebook, als auch von der Kommandozeile aus werden diese Plots standardmäßig mit den Open-Source-Paket [ThreeJS] angezeigt, welches interaktives Drehen und Zoomen der Grafik mit Hilfe der Maus unterstützt.
Benutzen Sie plot3d um eine Funktion der Form \(f(x, y) = z\) zu zeichnen:
sage: x, y = var('x,y')
sage: plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))
Graphics3d Object
Alternativ können Sie auch parametric_plot3d verwenden um eine
parametrisierte Fläche zu zeichnen, wobei jede der Variablen \(x, y, z\)
durch eine Funktion einer oder zweier Variablen bestimmt ist. (Die
Argumente sind typischerweise \(u\) und \(v\)). Der vorherige Plot kann
wie folgt parametrisiert angegeben werden:
sage: u, v = var('u, v')
sage: f_x(u, v) = u
sage: f_y(u, v) = v
sage: f_z(u, v) = u^2 + v^2
sage: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))
Graphics3d Object
Die dritte Möglichkeit eine 3D Oberfläche zuplotten ist
implicit_plot3d, dies zeichnet eine Kontur einer Funktion mit
\(f(x, y, z) = 0\) (so wird eine Punktmenge definiert). Wir können die
Sphäre mithilfe einer klassischen Formel zeichnen:
sage: x, y, z = var('x, y, z')
sage: implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))
Graphics3d Object
Hier sind noch ein paar Beispiele:
sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = u*v
sage: fy = u
sage: fz = v^2
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -1, 1), (v, -1, 1),
....: frame=False, color="yellow")
Graphics3d Object
Die Kreuz-Kappe:
sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = (1+cos(v))*cos(u)
sage: fy = (1+cos(v))*sin(u)
sage: fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
....: frame=False, color="red")
Graphics3d Object
Ein gedrehter Torus:
sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
sage: fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
sage: fz = sin(u)+2*cos(v)
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
....: frame=False, color="red")
Graphics3d Object
Die Lemniskate:
sage: x, y, z = var('x,y,z')
sage: f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)
sage: implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
Graphics3d Object