より進んだ数学

代数幾何

Sageでは,任意の代数多様体を定義することができるが,その非自明な機能は \(\QQ\) 上の環あるいは有限体でしか使えない場合がある. 例として,2本のアフィン平面曲線の和を取り,ついで元の曲線を和の既約成分として分離してみよう.

sage: x, y = AffineSpace(2, QQ, 'xy').gens()
sage: C2 = Curve(x^2 + y^2 - 1)
sage: C3 = Curve(x^3 + y^3 - 1)
sage: D = C2 + C3
sage: D
Affine Plane Curve over Rational Field defined by
   x^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1
sage: D.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x^3 + y^3 - 1
]

以上の2本の曲線の交わりを取れば,全ての交点を求めてその既約成分を計算することもできる.

sage: V = C2.intersection(C3)
sage: V.irreducible_components()
[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y - 1,
  x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  y,
  x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  x + y + 2,
  2*y^2 + 4*y + 3
]

というわけで,点 \((1,0)\) および \((0,1)\) が双方の曲線上にあるのはすぐ見てとることができるし, \(y\) 成分が \(2y^2 + 4y + 3=0\) を満足する(2次の)点についても同じことだ.

Sageでは,3次元射影空間における捻れ3次曲線のトーリック・イデアルを計算することができる:

sage: R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(QQ, 4)
sage: I = ideal(b^2-a*c, c^2-b*d, a*d-b*c)
sage: F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ring
in a, b, c, d over Rational Field
sage: F.reduced_groebner_bases ()
[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [-c^2 + b*d, b^2 - a*c, -b*c + a*d],
 [-c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c, -c^3 + a*d^2],
 [c^3 - a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],
 [c^2 - b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, -b^2 + a*c, -b^3 + a^2*d],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d, -b^2 + a*c],
 [c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]
sage: F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4

楕円曲線

Sageの楕円曲線部門にはPARIの楕円曲線機能の大部分が取り込まれており,Cremonaの管理するオンラインデータベースに接続することもできる(これにはデータベースパッケージを追加する必要がある). さらに、Second-descentによって楕円曲線の完全Mordell-Weil群を計算するmwrankの機能が使えるし,SEAアルゴリズムの実行や同種写像全ての計算なども可能だ. \(\QQ\) 上の曲線群を扱うためのコードは大幅に更新され,Denis Simonによる代数的降下法ソフトウェアも取り込まれている.

楕円曲線を生成するコマンド EllipticCurve には,さまざまな書法がある:

  • EllipticCurve([\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_6\) ]): 楕円曲線

    \[y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6,\]

    を生成する. ただし \(a_i\)\(a_1\) のペアレントクラスに合わせて型強制される. 全ての \(a_i\) がペアレント \(\ZZ\) を持つ場合, \(a_i\)\(\QQ\) に型強制される.

  • EllipticCurve([\(a_4\), \(a_6\) ]): \(a_1=a_2=a_3=0\) となる以外は上と同じ.

  • EllipticCurve(ラベル): Cremonaの(新しい)分類ラベルを指定して,Cremonaデータベースに登録された楕円曲線を生成する. ラベルは "11a""37b2" といった文字列で,(以前のラベルと混同しないように)小文字でなければならない.

  • EllipticCurve(j): \(j\) -不変量 \(j\) を持つ楕円曲線を生成する.

  • EllipticCurve(R,[\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_6\) ]): 最初と同じように \(a_i\) を指定して環 \(R\) 上の楕円曲線を生成する.

以上の各コンストラクタを実際に動かしてみよう:

sage: EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve([GF(5)(0),0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

sage: EllipticCurve([1,2])
Elliptic Curve defined by y^2  = x^3 + x + 2 over Rational Field

sage: EllipticCurve('37a')
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field

sage: EllipticCurve_from_j(1)
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field

sage: EllipticCurve(GF(5), [0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

\((0,0)\) は、 \(y^2 + y = x^3 - x\) で定義される楕円曲線 \(E\) 上にある. Sageを使ってこの点を生成するには, E([0,0]) と入力する. Sageは,そうした楕円曲線上に点を付け加えていくことができる(楕円曲線は,無限遠点が零元、同一曲線上の3点を加えると0となる加法群としての構造を備えている):

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: P = E([0,0])
sage: P + P
(1 : 0 : 1)
sage: 10*P
(161/16 : -2065/64 : 1)
sage: 20*P
(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)
sage: E.conductor()
37

複素数体上の楕円曲線は, \(j\) -不変量によって記述される. Sageでは, \(j\) -不変量を以下のようにして計算する:

sage: E = EllipticCurve([0,0,0,-4,2]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: E.conductor()
2368
sage: E.j_invariant()
110592/37

\(E\) と同じ \(j\) -不変量を指定して楕円曲線を作っても,それが \(E\) と同型になるとは限らない. 次の例でも,2つの曲線は導手(conductor)が異なるため同型にならない.

sage: F = EllipticCurve_from_j(110592/37)
sage: F.conductor()
37

しかし, \(F\) を2で捻ったツイスト(twist)は同型の曲線になる.

sage: G = F.quadratic_twist(2); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: G.conductor()
2368
sage: G.j_invariant()
110592/37

楕円曲線に随伴する \(L\) -級数,あるいはモジュラー形式 \(\sum_{n=0}^\infty a_nq^n\) の係数 \(a_n\) を求めることもできる. 計算にはPARIのC-ライブラリを援用している:

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E.anlist(30)
[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
 3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]
sage: v = E.anlist(10000)

\(a_n\)\(n\leq 10^5\) の全てについて計算しても1秒ほどしかかからない:

sage: %time v = E.anlist(100000)
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06

楕円曲線を,対応するCremonaの分類ラベルを指定して生成する方法もある. そうすると,目的の楕円曲線がその階数,玉河数,単数基準(regulator)などの情報と共にプレロードされる:

sage: E = EllipticCurve("37b2")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field
sage: E = EllipticCurve("389a")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x  over Rational Field
sage: E.rank()
2
sage: E = EllipticCurve("5077a")
sage: E.rank()
3

Cremonaのデータベースへ直接にアクセスすることも可能だ.

sage: db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()
sage: db.curves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}
sage: db.allcurves(37)
{'a1': [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],
 'b1': [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],
 'b2': [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],
 'b3': [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}

この方法でデータベースから引き出されるデータは,むろん EllipticCurve 型のオブジェクトにはならない. 複数のフィールドから構成されたデータベースのレコードであるにすぎない. デフォルトでSageに付属しているのは,導手が \(\leq 10000\) の楕円曲線の情報要約からなる,Cremonaのデータベースの小型版である. オプションで大型版のデータベースも用意されていて,こちらは導手が \(120000\) までの全ての楕円曲線群の詳細情報を含む(2005年10月時点). さらに、Sage用の大規模版データベースパッケージ(2GB)では,Stein-Watkinsデータベース上の数千万種の楕円曲線を利用することができる.

ディリクレ指標

ディリクレ指標とは, 環 \(R\) に対する準同型写像 \((\ZZ/N\ZZ)^* \to R^*\) を, \(\gcd(N,x)>1\) なる整数 \(x\) を0と置くことによって写像 \(\ZZ \to R\) へ拡張したものである.

sage: G = DirichletGroup(12)
sage: G.list()
[Dirichlet character modulo 12 of conductor 1 mapping 7 |--> 1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 12 mapping 7 |--> -1, 5 |--> -1]
sage: G.gens()
(Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1)
sage: len(G)
4

ディリクレ群を作成したので、次にその元を一つ取って演算に使ってみよう.

sage: G = DirichletGroup(21)
sage: chi = G.1; chi
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6
sage: chi.values()
[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
 0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]
sage: chi.conductor()
7
sage: chi.modulus()
21
sage: chi.order()
6
sage: chi(19)
-zeta6 + 1
sage: chi(40)
-zeta6 + 1

この指標に対してガロワ群 \(\text{Gal}(\QQ(\zeta_N)/\QQ)\) がどう振る舞うか計算したり,法(modulus)の因数分解に相当する直積分解を実行することも可能だ.

sage: chi.galois_orbit()
[Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> -zeta6 + 1,
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6]

sage: go = G.galois_orbits()
sage: [len(orbit) for orbit in go]
[1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1]

sage: G.decomposition()
[
Group of Dirichlet characters modulo 3 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2,
Group of Dirichlet characters modulo 7 with values in Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
]

次に,mod 20,ただし値が \(\QQ(i)\) 上に収まるディリクレ指標の群を作成する:

sage: K.<i> = NumberField(x^2+1)
sage: G = DirichletGroup(20,K)
sage: G
Group of Dirichlet characters modulo 20 with values in Number Field in i with defining polynomial x^2 + 1

ついで, G の不変量をいくつか計算してみよう:

sage: G.gens()
(Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1,
 Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> i)

sage: G.unit_gens()
(11, 17)
sage: G.zeta()
i
sage: G.zeta_order()
4

以下の例では、数体上でディリクレ指標を生成する.1の累乗根については、 DirichletGroup の3番目の引数として明示的に指定している.

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: K = NumberField(x^4 + 1, 'a'); a = K.0
sage: b = K.gen(); a == b
True
sage: K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: G = DirichletGroup(5, K, a); G
Group of Dirichlet characters modulo 5 with values in the group of order 8 generated by a in Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: chi = G.0; chi
Dirichlet character modulo 5 of conductor 5 mapping 2 |--> a^2
sage: [(chi^i)(2) for i in range(4)]
[1, a^2, -1, -a^2]

ここで NumberField(x^4 + 1, 'a') と指定したのは,Sageに記号 \(a\) を使って K の内容(\(a\) で生成される数体上の多項式 \(x^4 + 1\))を表示させるためである. その時点で記号名 \(a\) はいったん未定義になるが、 a = K.0 (a = K.gen() としても同じ)が実行されると記号 \(a\) は多項式 \(x^4+1\) の根を表すようになる.

モジュラー形式

Sageを使ってモジュラー空間の次元,モジュラー・シンポルの空間,Hecke演算子、素因数分解などを含むモジュラー形式に関連した計算を実行することができる.

モジュラー形式が張る空間の次元を求める関数が数種類用意されている. 例えば

sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112

次に、レベル \(1\) ,ウェイト \(12\) のモジュラー・シンボル空間上でHecke演算子を計算してみよう.

sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)
sage: t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)
of weight 12 with sign 0 over Rational Field
sage: t2.matrix()
[ -24    0    0]
[   0  -24    0]
[4860    0 2049]
sage: f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

\(\Gamma_0(N)\)\(\Gamma_1(N)\) の空間を生成することもできる.

sage: ModularSymbols(11,2)
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
 0 over Rational Field
sage: ModularSymbols(Gamma1(11),2)
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 with
sign 0 and over Rational Field

特性多項式と \(q\) -展開を計算してみよう.

sage: M = ModularSymbols(Gamma1(11),2)
sage: M.T(2).charpoly('x')
x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4
     + 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)
        * (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)
sage: S = M.cuspidal_submodule()
sage: S.T(2).matrix()
[-2  0]
[ 0 -2]
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
    q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)
]

モジュラー・シンボルの空間を,指標を指定して生成することも可能だ.

sage: G = DirichletGroup(13)
sage: e = G.0^2
sage: M = ModularSymbols(e,2); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character
[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: M.T(2).charpoly('x').factor()
(x - zeta6 - 2) * (x - 2*zeta6 - 1) * (x + zeta6 + 1)^2
sage: S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space of
dimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: S.T(2).charpoly('x').factor()
(x + zeta6 + 1)^2
sage: S.q_expansion_basis(10)
[
q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5
  + (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)
]

以下の例では,モジュラー形式によって張られる空間に対するHecke演算子の作用を,Sageでどうやって計算するかを示す.

sage: T = ModularForms(Gamma0(11),2)
sage: T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) of
weight 2 over Rational Field
sage: T.degree()
2
sage: T.level()
11
sage: T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)
sage: T.dimension()
2
sage: T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 for
Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: M = ModularSymbols(11); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
sage: M.weight()
2
sage: M.basis()
((1,0), (1,8), (1,9))
sage: M.sign()
0

\(T_p\) は通常のHecke演算子( \(p\) は素数)を表す. Hecke演算子 \(T_2\)\(T_3\)\(T_5\) はモジュラー・シンボル空間にどんな作用を及ぼすのだろうか?

sage: M.T(2).matrix()
[ 3  0 -1]
[ 0 -2  0]
[ 0  0 -2]
sage: M.T(3).matrix()
[ 4  0 -1]
[ 0 -1  0]
[ 0  0 -1]
sage: M.T(5).matrix()
[ 6  0 -1]
[ 0  1  0]
[ 0  0  1]