Álgebra Linear

O Sage fornece os objetos usuais em álgebra linear, por exemplo, o polinômio característico, matriz escalonada, traço, decomposição, etc., de uma matriz.

Criar e multiplicar matrizes é fácil e natural:

sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
sage: w = vector([1,1,-4])
sage: w*A
(0, 0, 0)
sage: A*w
(-9, 1, -2)
sage: kernel(A)
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1  1 -4]

Note que no Sage, o núcleo de uma matriz \(A\) é o núcleo à esquerda, i.e., o conjunto de vetores \(w\) tal que \(wA=0\).

Resolver equações matriciais é fácil usando o método solve_right. Calculando A.solve_right(Y) obtém-se uma matrix (ou vetor) \(X\) tal que \(AX=Y\):

sage: Y = vector([0, -4, -1])
sage: X = A.solve_right(Y)
sage: X
(-2, 1, 0)
sage: A * X   # checking our answer...
(0, -4, -1)

Uma barra invertida \ pode ser usada no lugar de solve_right; use A \ Y no lugar de A.solve_right(Y).

sage: A \ Y
(-2, 1, 0)

Se não existir solução, o Sage retorna um erro:

sage: A.solve_right(w)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: matrix equation has no solutions

Similarmente, use A.solve_left(Y) para resolver para \(X\) em \(XA=Y\).

O Sage também pode calcular autovalores e autovetores:

sage: A = matrix([[0, 4], [-1, 0]])
sage: A.eigenvalues ()
[-2*I, 2*I]
sage: B = matrix([[1, 3], [3, 1]])
sage: B.eigenvectors_left()
[(4, [
(1, 1)
], 1), (-2, [
(1, -1)
], 1)]

(A sintaxe para a resposta de eigenvectors_left é uma lista com três componentes: (autovalor, autovetor, multiplicidade).) Autovalores e autovetores sobre QQ ou RR também podem ser calculados usando o Maxima (veja Maxima).

Como observado em Anéis Básicos, o anel sobre o qual a matriz esta definida afeta alguma de suas propriedades. A seguir, o primeiro argumento do comando matrix diz para o Sage considerar a matriz como uma matriz de inteiros (o caso ZZ), uma matriz de números racionais (QQ), ou uma matriz de números reais (RR):

sage: AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]])
sage: AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]])
sage: AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]])
sage: AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
sage: AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
sage: AR.echelon_form()
[ 1.00000000000000 0.000000000000000]
[0.000000000000000  1.00000000000000]

Espaços de Matrizes

Agora criamos o espaço \(\text{Mat}_{3\times 3}(\QQ)\) de matrizes \(3 \times 3\) com entradas racionais:

sage: M = MatrixSpace(QQ,3)
sage: M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field

(Para especificar o espaço de matrizes 3 por 4, você usaria MatrixSpace(QQ,3,4). Se o número de colunas é omitido, ele é considerado como igual ao número de linhas, portanto, MatrixSpace(QQ,3) é sinônimo de MatrixSpace(QQ,3,3).) O espaço de matrizes possui uma base que o Sage armazena como uma lista:

sage: B = M.basis()
sage: len(B)
9
sage: B[1]
[0 1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]

Vamos criar uma matriz como um elemento de M.

sage: A = M(range(9)); A
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]

A seguir calculamos a sua forma escalonada e o núcleo.

sage: A.echelon_form()
[ 1  0 -1]
[ 0  1  2]
[ 0  0  0]
sage: A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1 -2  1]

Agora ilustramos o cálculo com matrizes definidas sobre um corpo finito:

sage: M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
sage: A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,
....:        0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
sage: A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
sage: rows = A.rows()
sage: A.columns()
[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),
 (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
sage: rows
[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),
 (0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]

Criamos o subespaço sobre \(\GF{2}\) gerado pelas linhas acima.

sage: V = VectorSpace(GF(2),8)
sage: S = V.subspace(rows)
sage: S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
sage: A.echelon_form()
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]

A base de \(S\) usada pelo Sage é obtida a partir das linhas não-nulas da forma escalonada da matriz de geradores de \(S\).

Álgebra Linear Esparsa

O Sage fornece suporte para álgebra linear esparsa.

sage: M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()

O algoritmo multi-modular no Sage é bom para matrizes quadradas (mas não muito bom para matrizes que não são quadradas):

sage: M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
sage: M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True)
sage: A = M.random_element()
sage: E = A.echelon_form()

Note que o Python é sensível a maiúsculas e minúsculas:

sage: M = MatrixSpace(QQ, 10,10, Sparse=True)
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: __classcall__() got an unexpected keyword argument 'Sparse'