Un Tour Por Sage¶
Este es un tour por Sage que sigue de cerca al Tour Por Mathematica que está al comienzo del Libro de Mathematica.
Sage Como Una Calculadora¶
La línea de comandos de Sage tiene un prompt sage:; no necesitas agregarlo.
Si utilizas el Notebook de Sage, entonces coloca todo lo que haya después del
prompt sage: en una celda de entrada de datos, y presiona shift-enter para calcular la
salida correspondiente.
sage: 3 + 5
8
>>> from sage.all import *
>>> Integer(3) + Integer(5)
8
El acento circunflejo ^ significa «elevar a la potencia».
sage: 57.1 ^ 100
4.60904368661396e175
>>> from sage.all import *
>>> RealNumber('57.1') ** Integer(100)
4.60904368661396e175
Calculamos el inverso de una matriz de \(2 \times 2\) en Sage.
sage: matrix([[1,2], [3,4]])^(-1)
[ -2 1]
[ 3/2 -1/2]
>>> from sage.all import *
>>> matrix([[Integer(1),Integer(2)], [Integer(3),Integer(4)]])**(-Integer(1))
[ -2 1]
[ 3/2 -1/2]
Aquí integramos una función simple.
sage: x = var('x') # crea una variable simbólica
sage: integrate(sqrt(x)*sqrt(1+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)
>>> from sage.all import *
>>> x = var('x') # crea una variable simbólica
>>> integrate(sqrt(x)*sqrt(Integer(1)+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)
Esto le pide a Sage que resuelva una ecuación cuadrática. El símbolo ==
representa igualdad en Sage.
sage: a = var('a')
sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S
[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]
>>> from sage.all import *
>>> a = var('a')
>>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S
[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]
El resultado es una lista de igualdades.
sage: S[0].rhs()
-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2
sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))
>>> from sage.all import *
>>> S[Integer(0)].rhs()
-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2
>>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber('1.6')*x), Integer(0), Integer(40)))
Potencia de Cálculo Con Sage¶
Primero creamos una matriz de \(500 \times 500\) con números aleatorios.
sage: m = random_matrix(RDF,500)
>>> from sage.all import *
>>> m = random_matrix(RDF,Integer(500))
Sage tarda unos cuantos segundos en calcular los valores propios de la matriz y mostrarlos.
sage: e = m.eigenvalues() #alrededor de 2 segundos
sage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
sage: show(points(w))
>>> from sage.all import *
>>> e = m.eigenvalues() #alrededor de 2 segundos
>>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
>>> show(points(w))
Gracias a la Biblioteca GNU de Multiprecisión (GMP), Sage puede manejar números muy grandes, hasta números con millones o billones de dígitos.
sage: factorial(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
sage: n = factorial(1000000) # alrededor de 2.5 segundos
>>> from sage.all import *
>>> factorial(Integer(100))
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
>>> n = factorial(Integer(1000000)) # alrededor de 2.5 segundos
Esto calcula al menos 100 digitos de \(\pi\).
sage: N(pi, digits=100)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
>>> from sage.all import *
>>> N(pi, digits=Integer(100))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068
Esto le pide a Sage que factorice un polinomio en dos variables.
sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: F = factor(x^99 + y^99)
sage: F
(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
sage: F.expand()
x^99 + y^99
>>> from sage.all import *
>>> R = QQ['x, y']; (x, y,) = R._first_ngens(2)
>>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))
>>> F
(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
>>> F.expand()
x^99 + y^99
Sage tarda menos de 5 segundos en calcular el número de maneras de repartir cien millones como una suma de enteros positivos.
sage: z = Partitions(10^8).cardinality() # alrededor de 4.5 segundos
sage: str(z)[:40]
'1760517045946249141360373894679135204009'
>>> from sage.all import *
>>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality() # alrededor de 4.5 segundos
>>> str(z)[:Integer(40)]
'1760517045946249141360373894679135204009'
Accediendo a Distintos Algoritmos en Sage¶
Cada vez que usas Sage, estás accediendo a una de las más grandes colecciones de algoritmos computacionales de código abierto del mundo entero.