Sage en quelques mots

Cette courte présentation de Sage reprend le « Tour of Mathematica » proposé au début du « Mathematica Book ».

La calculatrice Sage

La ligne de commande Sage débute par sage:. Il ne vous est pas nécessaire de l’écrire à chaque ligne. Si vous utilisez le Notebook de Sage, vous n’avez qu’à recopier ce qui suit sage: dans une cellule, et à appuyer simultanément sur Maj + Entrée pour calculer le résultat.

sage: 3 + 5
8

>>> from sage.all import *
>>> Integer(3) + Integer(5)
8

Comme partout, l’accent circonflexe signifie « élever à la puissance ».

sage: 57.1 ^ 100
4.60904368661396e175

>>> from sage.all import *
>>> RealNumber('57.1') ** Integer(100)
4.60904368661396e175

Il permet de calculer des puissances d’objets plus complexes comme des matrices. Voici comment calculer l’inverse d’une matrice \(2 \times 2\) avec Sage.

sage: matrix([[1,2], [3,4]])^(-1)
[  -2    1]
[ 3/2 -1/2]

>>> from sage.all import *
>>> matrix([[Integer(1),Integer(2)], [Integer(3),Integer(4)]])**(-Integer(1))
[  -2    1]
[ 3/2 -1/2]

Voici comment intégrer une fonction simple.

sage: x = var('x')   # Créer une variable symbolique
sage: integrate(sqrt(x)*sqrt(1+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')   # Créer une variable symbolique
>>> integrate(sqrt(x)*sqrt(Integer(1)+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

Les commandes suivantes permettent de demander à Sage de résoudre une équation quadratique. Le symbole == représente l’égalité sous Sage.

sage: a = var('a')
sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S
[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

>>> from sage.all import *
>>> a = var('a')
>>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S
[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

Le résultat est une liste d’inégalités.

sage: S[0].rhs()
-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2
sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))

>>> from sage.all import *
>>> S[Integer(0)].rhs()
-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2
>>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber('1.6')*x), Integer(0), Integer(40)))
_images/sin_plot.png

Calcul numérique sous Sage

Tout d’abord, créons une matrice aléatoire de taille \(500 \times 500\).

sage: m = random_matrix(RDF,500)

>>> from sage.all import *
>>> m = random_matrix(RDF,Integer(500))

Il ne faut que quelques secondes à Sage pour calculer les valeurs propres de la matrice et en faire un graphique.

sage: e = m.eigenvalues()  # environ 2 secondes
sage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
sage: show(points(w))

>>> from sage.all import *
>>> e = m.eigenvalues()  # environ 2 secondes
>>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
>>> show(points(w))
_images/eigen_plot.png

Grâce à la bibliothèque GMP (GNU Multiprecision Library), Sage peut effectuer des calculs sur de très grands nombres, comportant des millions ou des milliards de chiffres.

sage: factorial(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
sage: n = factorial(1000000)  # environ 2.5 secondes

>>> from sage.all import *
>>> factorial(Integer(100))
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
>>> n = factorial(Integer(1000000))  # environ 2.5 secondes

Voici comment afficher les 100 premières décimales de \(\pi\).

sage: N(pi, digits=100)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

>>> from sage.all import *
>>> N(pi, digits=Integer(100))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Voici comment Sage factorise un polynôme en deux variables.

sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: F = factor(x^99 + y^99)
sage: F
(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
 x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
sage: F.expand()
x^99 + y^99

>>> from sage.all import *
>>> R = QQ['x, y']; (x, y,) = R._first_ngens(2)
>>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))
>>> F
(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
 x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
>>> F.expand()
x^99 + y^99

Il ne faut pas plus de 5 secondes à Sage pour calculer le nombre de façons de partitionner mille millions (\(10^8\)) comme une somme d’entiers positifs.

sage: z = Partitions(10^8).cardinality()  # environ 4.5 secondes
sage: str(z)[:40]
'1760517045946249141360373894679135204009'

>>> from sage.all import *
>>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality()  # environ 4.5 secondes
>>> str(z)[:Integer(40)]
'1760517045946249141360373894679135204009'

Les algorithmes inclus dans Sage

Quand vous utilisez Sage, vous avez accès à l’une des plus grandes collections Open Source d’algorithmes de calcul.