Algebra di base e Analisi¶

Sage sa svolgere diversi calcoli legati all’algebra di base ed all’analisi: per esempio, risoluzione di equazioni, calcolo differenziale ed integrale e trasformate di Laplace. Si veda la documentazione per le «Costruzioni di Sage» per ulteriori esempi.

Metodo di Eulero per i sistemi di equazioni differenziali¶

Nel prossimo esempio, si illustrerà il metodo di Eulero per le ODE di primo e secondo ordine. Per prima cosa ricordiamo l’idea di base per le equazioni di primo ordine. Dato un problema di Cauchy della forma

\[y'=f(x,y) y(a)=c\]

si vuole trovare il valore approssimato della soluzione a \(x=b\) con \(b>a\).

Ricordando dalla definizione di derivata che

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

dove \(h>0\) è dato e piccolo. Questo e la DE insieme danno give \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Ora si risolve per \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).\]

Se chiamiamo \(h f(x,y(x))\) il «termine di correzione» (per mancanza di un termine migliore), \(y(x)\) il «vecchio valore di y», e \(y(x+h)\) il «nuovo valore di y», allora questa approssimazione può essere espressa come

\[y_{new} \approx y_{old} + h*f(x,y_{old}).\]

Se si spezza l’intervallo da a a b in n intervalli, dimodoché \(h=\frac{b-a}{n}\), allora si possono registrare le informazioni per questo metodo in una tabella.

\(x\)	\(y\)	\(hf(x,y)\)
\(a\)	\(c\)	\(hf(a,c)\)
\(a+h\)	\(c+hf(a,c)\)	…
\(a+2h\)	…
…
\(b=a+nh\)	???	…

L’obiettivo è riempire tutti gli spazi vuoti della tavella, una riga alla volta, finché si arriva al valore ???, che è il metodo di approssimazione di Eulero per \(y(b)\).

L’idea per sistemi di ODE è simile.

Esempio: Si approssimi numericamente \(z(t)\) a \(t=1\) usando 4 passi del metodo di Eulero, dove \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\).

Si deve ridurre l’ODE di secondo ordine ad un sistema di due equazioni del primo ordine (usando \(x=z\), \(y=z'\)) ed applicare il metodo di Eulero:

Sage

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Pertanto, \(z(1)\approx 0.75\).

Si possono anche tracciare i punti \((x,y)\) per ottenere un grafico approssimato della curva. La funzione eulers_method_2x2_plot svolge questa funzione; per usarla, bisogna definire le funzioni f e g che prendono on argomento con tre coordinate: (t, x, y).

Sage

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

A questo punto, P ha in memoria due grafici: P[0], il grafico di x vs. t, e P[1], il grafico di y vs. t. Si possono tracciare entrambi come mostrato qui in seguito:

Sage

sage: show(P[0] + P[1])

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

Funzioni speciali¶

Sono implementati diversi polinomi ortogonali e funzioni speciali, usando sia PARI [GAP] che Maxima [Max]. Essi sono documentati nelle sezioni apposite («Polinomi ortogonali» e «Funzioni speciali», rispettivamente) del manuale di Sage.

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()
0.167089499251049

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.565159103992485
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()
0.167089499251049

A questo punto, Sage ha soltanto incorporato queste funzioni per l’uso numerico. Per l’uso simbolico, si usi direttamente l’interfaccia di Maxima, come nell’esempio seguente:

Sage

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

[GAP]

(en) The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.11; 2021, https://www.gap-system.org

[Max] (1,2)

(en) Maxima, Version 5.45; 2021, http://maxima.sf.net/

Algebra di base e Analisi¶

Risoluzione di equazioni¶

Differenziazione, Integrazione, etc.¶

Risoluzione di Equazioni Differenziali¶

Metodo di Eulero per i sistemi di equazioni differenziali¶

Funzioni speciali¶