Álgebra Y Cálculo Básicos¶

Sage puede efectuar cómputos relacionados al algebra y cálculo básicos: por ejemplo, encontrar soluciones de ecuaciones, diferenciación, integración y transformadas de Laplace. Véa la documentación «Construcciones En Sage» para más ejemplos.

Método De Euler Para Sistemas De Ecuaciones Diferenciales¶

En el siguiente ejemplo, ilustraremos el método de Euler para EDOs de primer y segundo órden. Primero, recordemos la idea básica para ecuaciones de primer órden. Dado un problema con valor inicial de la forma

\[y'=f(x,y) y(a)=c\]

queremos encontrar el valor aproximado de la solución en \(x=b\) con \(b>a\).

Recuerda de la definición de derivada que

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

donde \(h>0\) está dado y es pequeño. Esto, junto con la ED, dan \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Ahora resuelve para \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).\]

Si llamamos a \(h f(x,y(x))\) el «término de corrección» (a falta de algo mejor), llamamos a \(y(x)\) «el valor viejo de y», y llamamos a \(y(x+h)\) el «nuevo valor de y», entonces, esta aproximación puede re-expresarse como

\[y_{nuevo} \approx y_{viejo} + h*f(x,y_{viejo}).\]

Si descomponemos el intervalo desde a a b en n pasos, de modo que \(h=\frac{b-a}{n}\), podemos guardar la información dada por este método en una tabla.

\(x\)	\(y\)	\(hf(x,y)\)
\(a\)	\(c\)	\(hf(a,c)\)
\(a+h\)	\(c+hf(a,c)\)	…
\(a+2h\)	…
…
\(b=a+nh\)	???	…

La meta es llenar todos los espacios de la tabla, una fila cada la vez, hasta que lleguemos a la casilla ???, que será la aproximación del método de Euler para \(y(b)\).

La idea para los sistemas de EDOs es similar.

Ejemplo: Aproxima numéricamente \(z(t)\) en \(t=1\) usando 4 pasos del método de Euler, donde \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\).

Debemos reducir la EDO de segundo órden a un sistema de dos EDs de primer órden (usando \(x=z\), \(y=z'\)) y aplicar el método de Euler:

Sage

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Por tanto, \(z(1)\approx 0.75\).

También podemos dibujar los puntos \((x,y)\) para obtener una representación aproximada de la curva. La función que hace esto es eulers_method_2x2_plot. Para poder usarla, necesitamos definir las funciones f y g que toman un argumento con tres coordenadas: (t, x,*y*).

Sage

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

A estas alturas, P está guardando dos gráficas: P[0], el gráfico de x vs. t, y P[1], el gráfico de y vs. t. Podemos mostrar ámbas como sigue:

Sage

sage: show(P[0] + P[1])

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

Funciones Especiales¶

Se han implementado varios polinomios ortogonales y funciones especiales, utilizando tanto PARI [GAP] como Maxima [Max]. Estas funciones están documentadas en las secciones apropiadas («Polinomios Ortogonales» y «Funciones Especiales», respectivamente) del manual de referencia de Sage.

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()  # los últimos digitos son al azar
0.16708949925104...

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.565159103992485
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()  # los últimos digitos son al azar
0.16708949925104...

Hasta este punto, Sage únicamente ha encapsulado estas funciones para uso numérico. Para uso simbólico, por favor utiliza directamente la interfaz a Maxima, como en el siguiente ejemplo:

Sage

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

[GAP]

El Grupo GAP, GAP - Grupos, Algorítmos y Programación, https://www.gap-system.org

[Max] (1,2)

Maxima, http://maxima.sf.net/

Álgebra Y Cálculo Básicos¶

Resolviendo Ecuaciones¶

Resolviendo Ecuaciones De Manera Exacta¶

Resolviendo Ecuaciones Numéricamente¶

Diferenciación, Integración, etc.¶

Resolviendo Ecuaciones Diferenciales¶

Método De Euler Para Sistemas De Ecuaciones Diferenciales¶

Funciones Especiales¶