Распространённые проблемы с функциями

Некоторые аспекты определения функций (например, для дифференцирования или построения графика) могут быть не ясны. В этом разделе мы обращаем внимание на некоторые наиболее распространенные проблемы.

Далее показаны несколько способов определения того, что можно назвать «функцией»:

1. Определите функцию Python, как описано в разделе Функции, отступы и счетчики. Для таких функций можно построить графики, но продифференцировать или проинтегрировать их нельзя.

sage: def f(z): return z^2
sage: type(f)
<... 'function'>
sage: f(3)
9
sage: plot(f, 0, 2)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> def f(z): return z**Integer(2)
>>> type(f)
<... 'function'>
>>> f(Integer(3))
9
>>> plot(f, Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Обратите внимание на синтаксис в последней строчке. plot(f(z), 0, 2) выдаст ошибку, так как z - это переменная-болванка в определении f, которая не определена внутри данной конструкции. Просто f(z) возвратит ошибку. Следующее будет работать в данном контексте, однако, в общем, возникнут некоторые затруднения, но они могут быть проигнорированы (см. пункт 4).

sage: var('z')   # определение переменной z для символьных вычислений
z
sage: f(z)
z^2
sage: plot(f(z), 0, 2)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> var('z')   # определение переменной z для символьных вычислений
z
>>> f(z)
z^2
>>> plot(f(z), Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

В этом случае f(z) - это символьное выражение.

2. Определим «вызываемое символьное выражение». Оно может быть продифференцировано, проинтегрировано, а также можно построить его график.

sage: g(x) = x^2
sage: g        # g отображает x в x^2
x |--> x^2
sage: g(3)
9
sage: Dg = g.derivative(); Dg
x |--> 2*x
sage: Dg(3)
6
sage: type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
sage: plot(g, 0, 2)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> __tmp__=var("x"); g = symbolic_expression(x**Integer(2)).function(x)
>>> g        # g отображает x в x^2
x |--> x^2
>>> g(Integer(3))
9
>>> Dg = g.derivative(); Dg
x |--> 2*x
>>> Dg(Integer(3))
6
>>> type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
>>> plot(g, Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Если g — это вызываемое символьное выражение, g(x) — это связянный с ним объект, но другого вида, для которого можно построить график и который можно дифференциировать и т.д.

sage: g(x)
x^2
sage: type(g(x))
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
sage: g(x).derivative()
2*x
sage: plot(g(x), 0, 2)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> g(x)
x^2
>>> type(g(x))
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
>>> g(x).derivative()
2*x
>>> plot(g(x), Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

3. Можно использовать уже определенную функцию Sage — „функцию исчисления“. Для нее может быть построен график, она может быть продифференцирована и проинтегрирована.

sage: type(sin)
<class 'sage.functions.trig.Function_sin'>
sage: plot(sin, 0, 2)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
sage: type(sin(x))
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
sage: plot(sin(x), 0, 2)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> type(sin)
<class 'sage.functions.trig.Function_sin'>
>>> plot(sin, Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> type(sin(x))
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
>>> plot(sin(x), Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Сама по себе функция sin не может быть продифференцирована, по крайней мере, не может произвести cos.

sage: f = sin
sage: f.derivative()
Traceback (most recent call last):
...
AttributeError: ...

>>> from sage.all import *
>>> f = sin
>>> f.derivative()
Traceback (most recent call last):
...
AttributeError: ...

Использование f = sin(x) вместо sin работает, но лучше использовать f(x) = sin(x) для того, чтобы определить вызываемое символьное выражение.

sage: S(x) = sin(x)
sage: S.derivative()
x |--> cos(x)

>>> from sage.all import *
>>> __tmp__=var("x"); S = symbolic_expression(sin(x)).function(x)
>>> S.derivative()
x |--> cos(x)

Далее следуют некоторые общие проблемы с объяснением:

4. Случайная оценка.

sage: def h(x):
....:     if x<2:
....:         return 0
....:     else:
....:         return x-2

>>> from sage.all import *
>>> def h(x):
...     if x<Integer(2):
...         return Integer(0)
...     else:
...         return x-Integer(2)

Проблема: plot(h(x), 0, 4) построит кривую \(y=x-2\). Причина: В команде plot(h(x), 0, 4) сначала оценивается h(x), что означает подставку x в функцию h и оценку x<2.

sage: type(x<2)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

>>> from sage.all import *
>>> type(x<Integer(2))
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

Решение: Не используйте plot(h(x), 0, 4); используйте:

sage: plot(h, 0, 4)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> plot(h, Integer(0), Integer(4))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

5. Ошибочное создание константы вместо функции.

sage: f = x
sage: g = f.derivative()
sage: g
1

>>> from sage.all import *
>>> f = x
>>> g = f.derivative()
>>> g
1

Проблема: g(3), например, возвратит ошибку с сообщением «ValueError: the number of arguments must be less than or equal to 0.»

sage: type(f)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
sage: type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

>>> from sage.all import *
>>> type(f)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>
>>> type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

g не является функцией, это константа, поэтому она не имеет переменных, и вы можете вставлять что угодно в нее.

Решение: есть несколько возможных путей.

  • Определить f изначально как символьное выражение.

sage: f(x) = x        # вместо 'f = x'
sage: g = f.derivative()
sage: g
x |--> 1
sage: g(3)
1
sage: type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

>>> from sage.all import *
>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x        ).function(x)# вместо 'f = x'
>>> g = f.derivative()
>>> g
x |--> 1
>>> g(Integer(3))
1
>>> type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

  • Либо вместе с f, определенной выше, определить g как символьное выражение.

sage: f = x
sage: g(x) = f.derivative()  # вместо 'g = f.derivative()'
sage: g
x |--> 1
sage: g(3)
1
sage: type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

>>> from sage.all import *
>>> f = x
>>> __tmp__=var("x"); g = symbolic_expression(f.derivative()  ).function(x)# вместо 'g = f.derivative()'
>>> g
x |--> 1
>>> g(Integer(3))
1
>>> type(g)
<class 'sage.symbolic.expression.Expression'>

  • Либо с f и g, заданными, как показано выше, создать переменную, под которую подставляются значения.

sage: f = x
sage: g = f.derivative()
sage: g
1
sage: g(x=3)    # вместо 'g(3)'
1

>>> from sage.all import *
>>> f = x
>>> g = f.derivative()
>>> g
1
>>> g(x=Integer(3))    # вместо 'g(3)'
1

Есть еще один способ, как определить различие между производными f = x и f(x) = x

sage: f(x) = x
sage: g = f.derivative()
sage: g.variables()  # переменные, которые присутствуют в g
()
sage: g.arguments()  # аргументы, которые могут быть подставлены в g
(x,)
sage: f = x
sage: h = f.derivative()
sage: h.variables()
()
sage: h.arguments()
()

>>> from sage.all import *
>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x).function(x)
>>> g = f.derivative()
>>> g.variables()  # переменные, которые присутствуют в g
()
>>> g.arguments()  # аргументы, которые могут быть подставлены в g
(x,)
>>> f = x
>>> h = f.derivative()
>>> h.variables()
()
>>> h.arguments()
()

Как показывает данный пример, h не принимает аргументов, поэтому h(3) вернет ошибку.