Interfaces#

L’un des aspects essentiels de Sage est qu’il permet d’effectuer des calculs utilisant des objets issus de nombreux systèmes de calcul formel de façon unifiée, avec une interface commune et un langage de programmation sain.

Les méthodes console et interact d’une interface avec un programme externe font des choses tout-à-fait différentes. Prenons l’exemple de GAP :

gap.console() : Cette commande ouvre la console GAP. Cela transfère le contrôle à GAP ; Sage n’est dans ce cas qu’un moyen commode de lancer des programmes, un peu comme le shell sous Unix.
gap.interact() : Cette commande permet d’interagir avec une instance de GAP en cours d’exécution, et éventuellement « remplie d’objets Sage ». Il est possible d’importer des objets Sage dans la session GAP (y compris depuis l’interface interactive), etc.

GAP#

Pour les mathématiques discrètes effectives et principalement la théorie des groupes, Sage utilise GAP.

Voici un exemple d’utilisation de la fonction GAP IdGroup, qui nécessite une base de données optionnelle de groupes de petit ordre, à installer séparément comme décrit plus bas.

Sage

sage: G = gap('Group((1,2,3)(4,5), (3,4))')
sage: G
Group( [ (1,2,3)(4,5), (3,4) ] )
sage: G.Center()
Group( () )
sage: G.IdGroup()
[ 120, 34 ]
sage: G.Order()
120

Python

>>> from sage.all import *
>>> G = gap('Group((1,2,3)(4,5), (3,4))')
>>> G
Group( [ (1,2,3)(4,5), (3,4) ] )
>>> G.Center()
Group( () )
>>> G.IdGroup()
[ 120, 34 ]
>>> G.Order()
120

On peut faire le même calcul en SAGE sans invoquer explicitement l’interface GAP comme suit :

Sage

sage: G = PermutationGroup([[(1,2,3),(4,5)],[(3,4)]])
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)])
sage: G.group_id()
[120, 34]
sage: n = G.order(); n
120

Python

>>> from sage.all import *
>>> G = PermutationGroup([[(Integer(1),Integer(2),Integer(3)),(Integer(4),Integer(5))],[(Integer(3),Integer(4))]])
>>> G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)])
>>> G.group_id()
[120, 34]
>>> n = G.order(); n
120

Pour utiliser certaines fonctionnalités de GAP, vous devez installer un paquet Sage optionnel. Cela peut être fait avec la commande:

sage -i gap_packages

Singular#

Singular fournit une bibliothèque consistante et mature qui permet, entre autres, de calculer des pgcd de polynômes de plusieurs variables, des factorisations, des bases de Gröbner ou encore des bases d’espaces de Riemann-Roch de courbes planes. Considérons la factorisation de polynômes de plusieurs variables à l’aide de l’interface à Singular fournie par Sage (n’entrez pas les ....:) :

Sage

sage: R1 = singular.ring(0, '(x,y)', 'dp')
sage: R1
polynomial ring, over a field, global ordering
//   coefficients: QQ
//   number of vars : 2
//        block   1 : ordering dp
//                  : names    x y
//        block   2 : ordering C
sage: f = singular('9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 +'
....:     '9*x^6*y^4 + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 -'
....:     '9*x^12*y^3 - 18*x^13*y^2 + 9*x^16')

Python

>>> from sage.all import *
>>> R1 = singular.ring(Integer(0), '(x,y)', 'dp')
>>> R1
polynomial ring, over a field, global ordering
//   coefficients: QQ
//   number of vars : 2
//        block   1 : ordering dp
//                  : names    x y
//        block   2 : ordering C
>>> f = singular('9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 +'
...     '9*x^6*y^4 + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 -'
...     '9*x^12*y^3 - 18*x^13*y^2 + 9*x^16')

Maintenant que nous avons défini \(f\), affichons-le puis factorisons-le.

Sage

sage: f
9*x^16-18*x^13*y^2-9*x^12*y^3+9*x^10*y^4-18*x^11*y^2+36*x^8*y^4+18*x^7*y^5-18*x^5*y^6+9*x^6*y^4-18*x^3*y^6-9*x^2*y^7+9*y^8
sage: f.parent()
Singular
sage: F = f.factorize(); F
[1]:
   _[1]=9
   _[2]=x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4
   _[3]=-x^5+y^2
[2]:
   1,1,2
sage: F[1][2]
x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4

Python

>>> from sage.all import *
>>> f
9*x^16-18*x^13*y^2-9*x^12*y^3+9*x^10*y^4-18*x^11*y^2+36*x^8*y^4+18*x^7*y^5-18*x^5*y^6+9*x^6*y^4-18*x^3*y^6-9*x^2*y^7+9*y^8
>>> f.parent()
Singular
>>> F = f.factorize(); F
[1]:
   _[1]=9
   _[2]=x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4
   _[3]=-x^5+y^2
[2]:
   1,1,2
>>> F[Integer(1)][Integer(2)]
x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4

Comme avec GAP dans la section GAP, nous pouvons aussi calculer la factorisation sans utiliser explicitement l’interface Singular (Sage y fera tout de même appel en coulisses pour le calcul).

Sage

sage: x, y = QQ['x, y'].gens()
sage: f = (9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 + 9*x^6*y^4
....:     + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 - 9*x^12*y^3
....:     - 18*x^13*y^2 + 9*x^16)
sage: factor(f)
(9) * (-x^5 + y^2)^2 * (x^6 - 2*x^3*y^2 - x^2*y^3 + y^4)

Python

>>> from sage.all import *
>>> x, y = QQ['x, y'].gens()
>>> f = (Integer(9)*y**Integer(8) - Integer(9)*x**Integer(2)*y**Integer(7) - Integer(18)*x**Integer(3)*y**Integer(6) - Integer(18)*x**Integer(5)*y**Integer(6) + Integer(9)*x**Integer(6)*y**Integer(4)
...     + Integer(18)*x**Integer(7)*y**Integer(5) + Integer(36)*x**Integer(8)*y**Integer(4) + Integer(9)*x**Integer(10)*y**Integer(4) - Integer(18)*x**Integer(11)*y**Integer(2) - Integer(9)*x**Integer(12)*y**Integer(3)
...     - Integer(18)*x**Integer(13)*y**Integer(2) + Integer(9)*x**Integer(16))
>>> factor(f)
(9) * (-x^5 + y^2)^2 * (x^6 - 2*x^3*y^2 - x^2*y^3 + y^4)

Interfaces#

GP/PARI#

GAP#

Singular#

Maxima#