Programmation¶

Charger et attacher des fichiers Sage¶

Nous décrivons maintenant la manière de charger dans Sage des programmes écrits dans des fichiers séparés. Créons un fichier appelé example.sage avec le contenu suivant :

print("Hello World")
print(2^3)

Nous pouvons lire et exécuter le contenu du fichier example.sage en utilisant la commande load.

Sage

sage: load("example.sage")
Hello World
8

Python

>>> from sage.all import *
>>> load("example.sage")
Hello World
8

Nous pouvons aussi attacher un fichier Sage à la session en cours avec la commande attach :

Sage

sage: attach("example.sage")
Hello World
8

Python

>>> from sage.all import *
>>> attach("example.sage")
Hello World
8

L’effet de cette commande est que si nous modifions maintenant example.sage et entrons une ligne vierge (i.e. appuyons sur entrée), le contenu de example.sage sera automatiquement rechargé dans Sage.

Avec attach, le fichier est rechargé automatiquement dans Sage à chaque modification, ce qui est pratique pour déboguer du code ; tandis qu’avec load il n’est chargé qu’une fois.

Lorsque Sage lit example.sage, il le convertit en un programme Python qui est ensuite exécuté par l’interpréteur Python. Cette conversion est minimale, elle se résume essentiellement à encapsuler les littéraux entiers dans des Integer() et les littéraux flottants dans des RealNumber(), à remplacer les ^ par des **, et à remplacer par exemple R.2 par R.gen(2). La version convertie en Python de example.sage est placée dans le même répertoire sous le nom example.sage.py. Elle contient le code suivant :

print("Hello World")
print(Integer(2)**Integer(3))

On voit que les littéraux entiers ont été encapsulés et que le ^ a été remplacé par ** (en effet, en Python, ^ représente le ou exclusif et ** l’exponentiation).

(Ce prétraitement est implémenté dans le fichier sage/misc/interpreter.py.)

On peut coller dans Sage des blocs de code de plusieurs lignes avec des indentations pourvu que les blocs soient délimités par des retours à la ligne (cela n’est pas nécessaire quand le code est dans un fichier). Cependant, la meilleure façon d’entrer ce genre de code dans Sage est de l’enregistrer dans un fichier et d’utiliser la commande attach comme décrit ci-dessus.

Écrire des programmes compilés¶

Dans les calculs mathématiques sur ordinateur, la vitesse a une importance cruciale. Or, si Python est un langage commode et de très haut niveau, certaines opérations peuvent être plus rapides de plusieurs ordres de grandeur si elles sont implémentées sur des types statiques dans un langage compilé. Certaines parties de Sage auraient été trop lentes si elles avaient été écrites entièrement en Python. Pour pallier ce problème, Sage supporte une sorte de « version compilée » de Python appelée Cython (voir [Cyt] et [Pyr]). Cython ressemble à la fois à Python et à C. La plupart des constructions Python, dont la définition de listes par compréhension, les expressions conditionnelles, les constructions comme += sont autorisées en Cython. Vous pouvez aussi importer du code depuis d’autres modules Python. En plus de cela, vous pouvez déclarer des variables C arbitraires, et faire directement des appels arbitraires à des bibliothèques C. Le code Cython est converti en C et compilé avec le compilateur C.

Pour créer votre propre code Sage compilé, donnez à votre fichier source l’exension .spyx (à la place de .sage). Avec l’interface en ligne de commande, vous pouvez charger ou attacher des fichiers de code compilé exactement comme les fichiers interprétés. Pour l’instant, le notebook ne permet pas d’attacher des fichiers compilés. La compilation proprement dite a lieu « en coulisse », sans que vous ayez à la déclencher explicitement. La bibliothèque d’objets partagés compilés se trouve dans $HOME/.sage/temp/hostname/pid/spyx. Ces fichiers sont supprimés lorsque vous quittez Sage.

Attention, le prétraitement des fichiers Sage mentionné plus haut N’EST PAS appliqué aux fichiers spyx, ainsi, dans un fichier spyx, 1/3 vaut 0 et non le nombre rationnel $1/3$. Pour appeler une fonction foo de la bibliothèque Sage depuis un fichier spyx, importez sage.all et appelez sage.all.foo.

import sage.all
def foo(n):
    return sage.all.factorial(n)

Appeler des fonctions définies dans des fichiers C séparés¶

Il n’est pas difficile non plus d’accéder à des fonctions écrites en C, dans des fichiers *.c séparés. Créez dans un même répertoire deux fichiers test.c et test.spyx avec les contenus suivants :

Le code C pur : test.c

int add_one(int n) {
  return n + 1;
}

Le code Cython : test.spyx:

cdef extern from "test.c":
    int add_one(int n)

def test(n):
    return add_one(n)

Vous pouvez alors faire :

Sage

sage: attach("test.spyx")
Compiling (...)/test.spyx...
sage: test(10)
11

Python

>>> from sage.all import *
>>> attach("test.spyx")
Compiling (...)/test.spyx...
>>> test(Integer(10))
11

Si la compilation du code C généré à partir d’un fichier Cython nécessite une bibliothèque supplémentaire foo, ajoutez au source Cython la ligne clib foo. De même, il est possible d’ajouter un fichier C supplémentaire bar aux fichiers à compiler avec la déclaration cfile bar.

Scripts Python/Sage autonomes¶

Le script autonome suivant, écrit en Sage, permet de factoriser des entiers, des polynômes, etc. :

#!/usr/bin/env sage

import sys

if len(sys.argv) != 2:
    print("Usage: %s <n>" % sys.argv[0])
    print("Outputs the prime factorization of n.")
    sys.exit(1)

print(factor(sage_eval(sys.argv[1])))

Pour utiliser ce script, votre répertoire SAGE_ROOT doit apparaître dans la variable d’environnement PATH. Supposons que le script ci-dessus soit appelé factor, il peut alors être utilisé comme dans l’exemple suivant :

bash $ ./factor 2006
2 * 17 * 59

Types de données¶

Chaque objet Sage a un type bien défini. Python dispose d’une vaste gamme de types intégrés et la bibliothèque Sage en fournit de nombreux autres. Parmi les types intégrés de Python, citons les chaînes, les listes, les n-uplets, les entiers et les flottants :

Sage

sage: s = "sage"; type(s)
<... 'str'>
sage: s = 'sage'; type(s)      # guillemets simples ou doubles
<... 'str'>
sage: s = [1,2,3,4]; type(s)
<... 'list'>
sage: s = (1,2,3,4); type(s)
<... 'tuple'>
sage: s = int(2006); type(s)
<... 'int'>
sage: s = float(2006); type(s)
<... 'float'>

Python

>>> from sage.all import *
>>> s = "sage"; type(s)
<... 'str'>
>>> s = 'sage'; type(s)      # guillemets simples ou doubles
<... 'str'>
>>> s = [Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]; type(s)
<... 'list'>
>>> s = (Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)); type(s)
<... 'tuple'>
>>> s = int(Integer(2006)); type(s)
<... 'int'>
>>> s = float(Integer(2006)); type(s)
<... 'float'>

Sage ajoute de nombreux autres types. Par exemple, les espaces vectoriels :

Sage

sage: V = VectorSpace(QQ, 1000000); V
Vector space of dimension 1000000 over Rational Field
sage: type(V)
<class 'sage.modules.free_module.FreeModule_ambient_field_with_category'>

Python

>>> from sage.all import *
>>> V = VectorSpace(QQ, Integer(1000000)); V
Vector space of dimension 1000000 over Rational Field
>>> type(V)
<class 'sage.modules.free_module.FreeModule_ambient_field_with_category'>

Seules certaines fonctions peuvent être appelées sur V. Dans d’autres logiciels mathématiques, cela se fait en notation « fonctionnelle », en écrivant foo(V,...). En Sage, certaines fonctions sont attachés au type (ou classe) de l’objet et appelées avec une syntaxe « orientée objet » comme en Java ou en C++, par exemple V.foo(...). Cela évite de polluer l’espace de noms global avec des dizaines de milliers de fonctions, et cela permet d’avoir plusieurs fonctions appelées foo, avec des comportements différents, sans devoir se reposer sur le type des arguments (ni sur des instructions case) pour décider laquelle appeler. De plus, une fonction dont vous réutilisez le nom demeure disponible : par exemple, si vous appelez quelque chose zeta et si ensuite vous voulez calculer la valeur de la fonction zêta de Riemann au point 0.5, vous pouvez encore écrire s=.5; s.zeta().

Sage

sage: zeta = -1
sage: s=.5; s.zeta()
-1.46035450880959

Python

>>> from sage.all import *
>>> zeta = -Integer(1)
>>> s=RealNumber('.5'); s.zeta()
-1.46035450880959

La notation fonctionnelle usuelle est aussi acceptée dans certains cas courants, par commodité et parce que certaines expressions mathématiques ne sont pas claires en notation orientée objet. Voici quelques exemples.

Sage

sage: n = 2; n.sqrt()
sqrt(2)
sage: sqrt(2)
sqrt(2)
sage: V = VectorSpace(QQ,2)
sage: V.basis()
    [
    (1, 0),
    (0, 1)
    ]
sage: basis(V)
    [
    (1, 0),
    (0, 1)
    ]
sage: M = MatrixSpace(GF(7), 2); M
Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Finite Field of size 7
sage: A = M([1,2,3,4]); A
[1 2]
[3 4]
sage: A.charpoly('x')
x^2 + 2*x + 5
sage: charpoly(A, 'x')
x^2 + 2*x + 5

Python

>>> from sage.all import *
>>> n = Integer(2); n.sqrt()
sqrt(2)
>>> sqrt(Integer(2))
sqrt(2)
>>> V = VectorSpace(QQ,Integer(2))
>>> V.basis()
    [
    (1, 0),
    (0, 1)
    ]
>>> basis(V)
    [
    (1, 0),
    (0, 1)
    ]
>>> M = MatrixSpace(GF(Integer(7)), Integer(2)); M
Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Finite Field of size 7
>>> A = M([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]); A
[1 2]
[3 4]
>>> A.charpoly('x')
x^2 + 2*x + 5
>>> charpoly(A, 'x')
x^2 + 2*x + 5

Pour obtenir la liste de toutes les fonctions membres de $A$, utilisez la complétion de ligne de commande : tapez A., puis appuyez sur la touche [tab] de votre clavier, comme expliqué dans la section Recherche en arrière et complétion de ligne de commande.

Dictionnaires¶

Un dictionnaire (parfois appelé un tableau associatif) est une correspondance entre des objets « hachables » (par exemple des chaînes, des nombres, ou des n-uplets de tels objets, voir http://docs.python.org/tut/node7.html et http://docs.python.org/lib/typesmapping.html dans la documentation de Python pour plus de détails) vers des objets arbitraires.

Sage

sage: d = {1:5, 'sage':17, ZZ:GF(7)}
sage: type(d)
<... 'dict'>
sage: list(d.keys())
[1, 'sage', Integer Ring]
sage: d['sage']
17
sage: d[ZZ]
Finite Field of size 7
sage: d[1]
5

Python

>>> from sage.all import *
>>> d = {Integer(1):Integer(5), 'sage':Integer(17), ZZ:GF(Integer(7))}
>>> type(d)
<... 'dict'>
>>> list(d.keys())
[1, 'sage', Integer Ring]
>>> d['sage']
17
>>> d[ZZ]
Finite Field of size 7
>>> d[Integer(1)]
5

La troisième clé utilisée ci-dessus, l’anneau des entiers relatifs, montre que les indices d’un dictionnaire peuvent être des objets compliqués.

Un dictionnaire peut être transformé en une liste de couples clé-objet contenant les mêmes données :

Sage

sage: list(d.items())
[(1, 5), ('sage', 17), (Integer Ring, Finite Field of size 7)]

Python

>>> from sage.all import *
>>> list(d.items())
[(1, 5), ('sage', 17), (Integer Ring, Finite Field of size 7)]

Le parcours itératifs des paires d’un dictionnaire est un idiome de programmation fréquent :

Sage

sage: d = {2:4, 3:9, 4:16}
sage: [a*b for a, b in d.items()]
[8, 27, 64]

Python

>>> from sage.all import *
>>> d = {Integer(2):Integer(4), Integer(3):Integer(9), Integer(4):Integer(16)}
>>> [a*b for a, b in d.items()]
[8, 27, 64]

Comme le montre la dernière sortie ci-dessus, un dictionnaire stocke ses éléments sans ordre particulier.

Ensembles¶

Python dispose d’un type ensemble intégré. Sa principale caractéristique est qu’il est possible de tester très rapidement si un élément appartient ou non à un ensemble. Le type ensemble fournit les opérations ensemblistes usuelles.

Sage

sage: X = set([1,19,'a']);   Y = set([1,1,1, 2/3])
sage: X   # random sort order
{1, 19, 'a'}
sage: X == set(['a', 1, 1, 19])
True
sage: Y
{2/3, 1}
sage: 'a' in X
True
sage: 'a' in Y
False
sage: X.intersection(Y)
{1}

Python

>>> from sage.all import *
>>> X = set([Integer(1),Integer(19),'a']);   Y = set([Integer(1),Integer(1),Integer(1), Integer(2)/Integer(3)])
>>> X   # random sort order
{1, 19, 'a'}
>>> X == set(['a', Integer(1), Integer(1), Integer(19)])
True
>>> Y
{2/3, 1}
>>> 'a' in X
True
>>> 'a' in Y
False
>>> X.intersection(Y)
{1}

Sage a son propre type ensemble, qui est (dans certains cas) implémenté au-dessus du type Python, mais offre quelques fonctionnalités supplémentaires utiles à Sage. Pour créer un ensemble Sage, on utilise Set(...). Par exemple,

Sage

sage: X = Set([1,19,'a']);   Y = Set([1,1,1, 2/3])
sage: X   # random sort order
{'a', 1, 19}
sage: X == Set(['a', 1, 1, 19])
True
sage: Y
{1, 2/3}
sage: X.intersection(Y)
{1}
sage: print(latex(Y))
\left\{1, \frac{2}{3}\right\}
sage: Set(ZZ)
Set of elements of Integer Ring

Python

>>> from sage.all import *
>>> X = Set([Integer(1),Integer(19),'a']);   Y = Set([Integer(1),Integer(1),Integer(1), Integer(2)/Integer(3)])
>>> X   # random sort order
{'a', 1, 19}
>>> X == Set(['a', Integer(1), Integer(1), Integer(19)])
True
>>> Y
{1, 2/3}
>>> X.intersection(Y)
{1}
>>> print(latex(Y))
\left\{1, \frac{2}{3}\right\}
>>> Set(ZZ)
Set of elements of Integer Ring

Itérateurs¶

Les itérateurs sont un ajout récent à Python, particulièrement utile dans les applications mathématiques. Voici quelques exemples, consultez [PyT] pour plus de détails. Fabriquons un itérateur sur les carrés d’entiers positifs jusqu’à $10000000$.

Sage

sage: v = (n^2 for n in range(10000000))
sage: next(v)
0
sage: next(v)
1
sage: next(v)
4

Python

>>> from sage.all import *
>>> v = (n**Integer(2) for n in range(Integer(10000000)))
>>> next(v)
0
>>> next(v)
1
>>> next(v)
4

Nous créons maintenant un itérateur sur les nombres premiers de la forme $4p+1$ où $p$ est lui aussi premier, et nous examinons les quelques premières valeurs qu’il prend.

Sage

sage: w = (4*p + 1 for p in Primes() if is_prime(4*p+1))
sage: w
<generator object <genexpr> at 0x...>
sage: next(w)
13
sage: next(w)
29
sage: next(w)
53

Python

>>> from sage.all import *
>>> w = (Integer(4)*p + Integer(1) for p in Primes() if is_prime(Integer(4)*p+Integer(1)))
>>> w
<generator object <genexpr> at 0x...>
>>> next(w)
13
>>> next(w)
29
>>> next(w)
53

Certains anneaux, par exemple les corps finis et les entiers, disposent d’itérateurs associés :

Sage

sage: [x for x in GF(7)]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
sage: W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)
sage: next(W)
(0, 0)
sage: next(W)
(0, 1)
sage: next(W)
(0, -1)

Python

>>> from sage.all import *
>>> [x for x in GF(Integer(7))]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
>>> W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)
>>> next(W)
(0, 0)
>>> next(W)
(0, 1)
>>> next(W)
(0, -1)

Programmation¶

Charger et attacher des fichiers Sage¶

Écrire des programmes compilés¶

Appeler des fonctions définies dans des fichiers C séparés¶

Scripts Python/Sage autonomes¶

Types de données¶

Listes, n-uplets et séquences¶

Dictionnaires¶

Ensembles¶

Itérateurs¶

Boucles, fonctions, structures de contrôle et comparaisons¶

Profilage (profiling)¶