Interfaces

Uma característica central do Sage é que ele permite fazer cálculos com objetos em vários sistemas de álgebra computacional usando uma interface comum e uma linguagem de programação clara.

Os métodos console e interact de uma interface executam tarefas bem diferentes. Por exemplo, usando GAP:

  1. gap.console(): Isso abre um console do GAP - o controle é transferido para o GAP. Aqui o Sage não é nada mais do que uma forma conveniente de executar um programa, similar à shell Bash do Linux.
  2. gap.interact(): Essa é uma forma de interagir com uma instância do GAP que pode estar cheia de objetos do Sage. Você pode importar objetos nessa seção do GAP (até mesmo a partir da interface interativa), etc.

GP/PARI

O PARI é um programa em C muito compacto, maduro, e extremamente otimizado cujo foco primário é teoria de números. Existem duas interfaces distintas que podem ser usadas no Sage:

  • gp - o “G do P ARI” interpretador, e
  • pari - a biblioteca C do PARI.

Por exemplo, os seguintes comandos são duas formas de realizar a mesma coisa. Eles parecem idênticos, mas o resultado é na verdade diferente, e o que acontece por trás da cena é bastante diferente.

sage: gp('znprimroot(10007)')
Mod(5, 10007)
sage: pari('znprimroot(10007)')
Mod(5, 10007)

No primeiro caso, uma cópia separada do interpretador GP é iniciada como um servidor, e a string znprimroot(10007) é enviada, calculada pelo GP, e o resultado é armazenado em uma variável no GP (que ocupa espaço na memória dos processos do GP que não serão liberados). Então o valor dessa variável é exibido. No segundo caso, nenhum programa separado é iniciado, e a string znprimroot(10007) é calculada por uma certa função da biblioteca C do PARI. O resultado é armazenado na memória em uso pelo Python, que é liberada quando a variável não for mais referenciada. Os objetos possuem tipos diferentes:

sage: type(gp('znprimroot(10007)'))
<class 'sage.interfaces.gp.GpElement'>
sage: type(pari('znprimroot(10007)'))
<type 'sage.libs.cypari2.gen.Gen'>

Então qual eu devo usar? Depende do que você está fazendo. A interface GP pode fazer absolutamente tudo o que você poderia fazer na linha de comando do GP/PARI, pois está simplesmente executando esse programa. Em particular, você pode carregar programas complicados em PARI e executá-los. Por outro lado, a interface do PARI (via a biblioteca C) é muito mais restritiva. Primeiro, nem todas as funções foram implementadas. Segundo, bastante código, por exemplo, envolvendo integração numérica, não irá funcionar através da interface PARI. Todavia, a interface PARI pode ser significamente mais rápida e mais robusta do que a interface GP.

(Se a interface GP ficar sem memória para calcular algum comando, ela irá silenciosamente e automaticamente duplicar a memória alocada e repetir o comando solicitado. Então os seus cálculos não irão ser interrompidos se você não antecipou corretamente a quantidade de memória que seria necessária. Esse é um truque útil que a interface usual do GP não parece fornecer. Com respeito à interface da biblioteca C do PARI, ela imediatamente copia cada objeto criado para fora da pilha de memória, logo essa pilha nunca irá crescer. Contudo, cada objeto não deve exceder 100MB de tamanho, ou a pilha irá estourar quando o objeto for criado. Essa procedimento de cópia impõe uma leve pena sobre a performace.)

Em resumo, o Sage usa a biblioteca C do pari para fornecer funcionalidade similar à fornecida pelo interpretador GP/PARI, exceto que com um gerenciamento sofisticado de memória e a linguagem de programação Python.

Primeiro criamos uma lista do PARI a partir de uma lista do Python.

sage: v = pari([1,2,3,4,5])
sage: v
[1, 2, 3, 4, 5]
sage: type(v)
<type 'sage.libs.cypari2.gen.Gen'>

Cada objeto do PARI é do tipo Gen. O tipo PARI do objeto subjacente pode ser obtido usando a função type.

sage: v.type()
't_VEC'

Em PARI, para criar uma curva elíptica digitamos ellinit([1,2,3,4,5]). Em Sage é similar, exceto que ellinit é um método que pode ser chamado em qualquer objeto do PARI, por exemplo, t_VEC \(v\).

sage: e = v.ellinit()
sage: e.type()
't_VEC'
sage: pari(e)[:13]
[1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 29, 35, -183, -3429, -10351, 6128487/10351]

Agora que temos um objeto de curva elíptica, podemos calcular algumas coisas a respeito dele.

sage: e.elltors()
[1, [], []]
sage: e.ellglobalred()
[10351, [1, -1, 0, -1], 1, [11, 1; 941, 1], [[1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1]]]
sage: f = e.ellchangecurve([1,-1,0,-1])
sage: f[:5]
[1, -1, 0, 4, 3]

GAP

O Sage vem com o GAP para matemática discreta computacional, especialmente teoria de grupos.

Aqui está um exemplo com a função IdGroup do GAP, a qual usa a base de dados opcional sobre grupos que precisa ser instalada separadamente, como explicado abaixo.

sage: G = gap('Group((1,2,3)(4,5), (3,4))')
sage: G
Group( [ (1,2,3)(4,5), (3,4) ] )
sage: G.Center()
Group( () )
sage: G.IdGroup()    # optional - database_gap
[ 120, 34 ]
sage: G.Order()
120

Podemos realizar os mesmos cálculos no Sage sem explicitamente evocar a interface do GAP da seguinte forma:

sage: G = PermutationGroup([[(1,2,3),(4,5)],[(3,4)]])
sage: G.center()
Subgroup of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)]) generated by [()]
sage: G.group_id()     # optional - database_gap
[120, 34]
sage: n = G.order(); n
120

Para algumas funcionalidades do GAP, deve-se instalar dois pacotes Sage opcionais. Isso pode ser feito com o comando:

sage -i gap_packages database_gap

Singular

O Singular fornece uma biblioteca massiva e madura para bases de Gröbner, máximo divisor comum para polinômios em várias variáveis, bases de espaços de Riemann-Roch de uma curva plana, e fatorização, entre outras coisas. Vamos ilustrar a fatorização de polinômios em várias variáveis usando a interface do Sage para o Singular (não digite ...):

sage: R1 = singular.ring(0, '(x,y)', 'dp')
sage: R1
polynomial ring, over a field, global ordering
//   characteristic : 0
//   number of vars : 2
//        block   1 : ordering dp
//                  : names    x y
//        block   2 : ordering C
sage: f = singular('9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 +'
....:    '9*x^6*y^4 + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 -'
....:    '9*x^12*y^3 - 18*x^13*y^2 + 9*x^16')

Agora que definimos \(f\), vamos imprimi-lo e fatorá-lo.

sage: f
9*x^16-18*x^13*y^2-9*x^12*y^3+9*x^10*y^4-18*x^11*y^2+36*x^8*y^4+18*x^7*y^5-18*x^5*y^6+9*x^6*y^4-18*x^3*y^6-9*x^2*y^7+9*y^8
sage: f.parent()
Singular
sage: F = f.factorize(); F
[1]:
   _[1]=9
   _[2]=x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4
   _[3]=-x^5+y^2
[2]:
   1,1,2
sage: F[1][2]
x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4

Como com o exemplo para o GAP em GAP, podemos calcular a fatorização acima sem explicitamente usar a inteface do Singular (todavia, implicitamente o Sage usa a interface do Singular para os cálculos). Não digite ...:

sage: x, y = QQ['x, y'].gens()
sage: f = 9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 + 9*x^6*y^4 \
....:  + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 - 9*x^12*y^3 \
....:  - 18*x^13*y^2 + 9*x^16
sage: factor(f)
(9) * (-x^5 + y^2)^2 * (x^6 - 2*x^3*y^2 - x^2*y^3 + y^4)

Maxima

O Maxima está incluido no Sage, assim como uma implementação do Lisp. O pacote gnuplot (que o Maxima usa para criar gráficos) é distribuído como um pacote adicional do Sage. Entre outras coisas, o Maxima executa manipulações simbólicas. Ele pode integrar e diferenciar funções simbolicamente, resolver EDOs de primeira ordem, grande parte das EDOs lineares de segunda ordem, e tem implementado o método da transformada de Laplace para EDOs lineares de qualquer ordem. O Maxima também suporta uma série de funções especiais, é capaz de criar gráficos via gnuplot, e possui métodos para resolver equações polinômiais e manipular matrizes (por exemplo, escalonar e calcular autovalores e autovetores).

Nós ilustramos a interface Sage/Maxima construíndo uma matriz cuja entrada \(i,j\) é \(i/j\), para \(i,j=1,\ldots,4\).

sage: f = maxima.eval('ij_entry[i,j] := i/j')
sage: A = maxima('genmatrix(ij_entry,4,4)'); A
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[2,1,2/3,1/2],[3,3/2,1,3/4],[4,2,4/3,1])
sage: A.determinant()
0
sage: A.echelon()
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])
sage: A.eigenvalues()
[[0,4],[3,1]]
sage: A.eigenvectors()
[[[0,4],[3,1]],[[[1,0,0,-4],[0,1,0,-2],[0,0,1,-4/3]],[[1,2,3,4]]]]

Aqui vai outro exemplo:

sage: A = maxima("matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])")
sage: eigA = A.eigenvectors()
sage: V = VectorSpace(QQ,3)
sage: eigA
[[[-2,-1,1],[1,1,1]],[[[0,0,1]],[[0,1,3]],[[1,1/2,5/6]]]]
sage: v1 = V(sage_eval(repr(eigA[1][0][0]))); lambda1 = eigA[0][0][0]
sage: v2 = V(sage_eval(repr(eigA[1][1][0]))); lambda2 = eigA[0][0][1]
sage: v3 = V(sage_eval(repr(eigA[1][2][0]))); lambda3 = eigA[0][0][2]

sage: M = MatrixSpace(QQ,3,3)
sage: AA = M([[1,0,0],[1, - 1,0],[1,3, - 2]])
sage: b1 = v1.base_ring()
sage: AA*v1 == b1(lambda1)*v1
True
sage: b2 = v2.base_ring()
sage: AA*v2 == b2(lambda2)*v2
True
sage: b3 = v3.base_ring()
sage: AA*v3 == b3(lambda3)*v3
True

Por fim, apresentamos um exemplo de como usar o Sage para criar gráficos usando openmath. Alguns desses exemplos são modificações de exemplos do manual de referência do Maxima.

Um gráfico em duas dimensões de diversas funções (não digite ...):

sage: maxima.plot2d('[cos(7*x),cos(23*x)^4,sin(13*x)^3]','[x,0,1]',  # not tested
....: '[plot_format,openmath]') # not tested

Um gráfico em 3D que você pode mover com o seu mouse:

sage: maxima.plot3d("2^(-u^2 + v^2)", "[u, -3, 3]", "[v, -2, 2]",  # not tested
....: '[plot_format, openmath]') # not tested

sage: maxima.plot3d("atan(-x^2 + y^3/4)", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]", # not tested
....: "[grid, 50, 50]",'[plot_format, openmath]') # not tested

O próximo gráfico é a famosa faixa de Möbious:

sage: maxima.plot3d("[cos(x)*(3 + y*cos(x/2)), sin(x)*(3 + y*cos(x/2))," \ # not tested
....: "y*sin(x/2)]", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]", # not tested
....: '[plot_format, openmath]') # not tested

E agora a famosa garrafa de Klein:

sage: maxima("expr_1: 5*cos(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)"\
....: "- 10.0")
5*cos(x)*(sin(x/2)*sin(2*y)+cos(x/2)*cos(y)+3.0)-10.0
sage: maxima("expr_2: -5*sin(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)")
-5*sin(x)*(sin(x/2)*sin(2*y)+cos(x/2)*cos(y)+3.0)
sage: maxima("expr_3: 5*(-sin(x/2)*cos(y) + cos(x/2)*sin(2*y))")
5*(cos(x/2)*sin(2*y)-sin(x/2)*cos(y))
sage: maxima.plot3d("[expr_1, expr_2, expr_3]", "[x, -%pi, %pi]", # not tested
....: "[y, -%pi, %pi]", "['grid, 40, 40]", # not tested
....: '[plot_format, openmath]') # not tested