Álgebra Elementar e Cálculo#

O Sage pode realizar diversos cálculos em álgebra elementar e cálculo diferencial e integral: por exemplo, encontrar soluções de equações, diferenciar, integrar, e calcular a transformada de Laplace. Veja a documentação em Sage Constructions para mais exemplos.

Resolvendo equações#

Resolvendo equações exatamente#

A função solve resolve equações. Para usá-la, primeiro especifique algumas variáveis; então os argumentos de solve são uma equação (ou um sistema de equações), juntamente com as variáveis para as quais resolver:

sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]
>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> solve(x**Integer(2) + Integer(3)*x + Integer(2), x)
[x == -2, x == -1]

Você pode resolver equações para uma variável em termos das outras:

sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]
>>> from sage.all import *
>>> x, b, c = var('x b c')
>>> solve([x**Integer(2) + b*x + c == Integer(0)],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

Você pode resolver para diversas variáveis:

sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x, y')
>>> solve([x+y==Integer(6), x-y==Integer(4)], x, y)
[[x == 5, y == 1]]

O seguinte exemplo, que mostra como usar o Sage para resolver um sistema de equações não-lineares, foi sugerido por Jason Grout: primeiro, resolvemos o sistemas simbolicamente:

sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]
>>> from sage.all import *
>>> var('x y p q')
(x, y, p, q)
>>> eq1 = p+q==Integer(9)
>>> eq2 = q*y+p*x==-Integer(6)
>>> eq3 = q*y**Integer(2)+p*x**Integer(2)==Integer(24)
>>> solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

Para obter soluções numéricas aproximadas, podemos usar:

sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
>>> from sage.all import *
>>> solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y, solution_dict=True)
>>> [[s[p].n(Integer(30)), s[q].n(Integer(30)), s[x].n(Integer(30)), s[y].n(Integer(30))] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

(A função n imprime uma aproximação numérica, e o argumento é o número de bits de precisão.)

Resolvendo Equações Numericamente#

Frequentemente, solve não será capaz de encontrar uma solução exata para uma equação ou sistema de equações. Nesse caso, você pode usar find_root para encontrar uma solução numérica. Por exemplo, solve não encontra uma solução para a equação abaixo:

sage: theta = var('theta')
sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]
>>> from sage.all import *
>>> theta = var('theta')
>>> solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]

Por outro lado, podemos usar find_root para encontrar uma solução para a equação acima no intervalo \(0 < \phi < \pi/2\):

sage: phi = var('phi')
sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
0.785398163397448...
>>> from sage.all import *
>>> phi = var('phi')
>>> find_root(cos(phi)==sin(phi),Integer(0),pi/Integer(2))
0.785398163397448...

Diferenciação, Integração, etc.#

O Sage é capaz de diferenciar e integrar diversas funções. Por exemplo, para diferenciar \(\sin(u)\) com respeito a \(u\), faça o seguinte:

sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)
>>> from sage.all import *
>>> u = var('u')
>>> diff(sin(u), u)
cos(u)

Para calcular a quarta derivada de \(\sin(x^2)\):

sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)
>>> from sage.all import *
>>> diff(sin(x**Integer(2)), x, Integer(4))
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

Para calcular as derivadas parciais de \(x^2+17y^2\) com respeito a x e y, respectivamente:

sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x,y')
>>> f = x**Integer(2) + Integer(17)*y**Integer(2)
>>> f.diff(x)
2*x
>>> f.diff(y)
34*y

Passamos agora para integrais, tanto indefinidas como definidas. Para calcular \(\int x\sin(x^2)\, dx\) e \(\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx\):

sage: integral(x*sin(x^2), x)
-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)
>>> from sage.all import *
>>> integral(x*sin(x**Integer(2)), x)
-1/2*cos(x^2)
>>> integral(x/(x**Integer(2)+Integer(1)), x, Integer(0), Integer(1))
1/2*log(2)

Para calcular a decomposição em frações parciais de \(\frac{1}{x^2-1}\):

sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)
>>> from sage.all import *
>>> f = Integer(1)/((Integer(1)+x)*(x-Integer(1)))
>>> f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

Resolvendo Equações Diferenciais#

Você pode usar o Sage para investigar equações diferenciais ordinárias. Para resolver a equação \(x'+x-1=0\):

sage: t = var('t')    # define a variable t
sage: x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
sage: DE = diff(x, t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')    # define a variable t
>>> x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
>>> DE = diff(x, t) + x - Integer(1)
>>> desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)

Esse método usa a interface do Sage para o Maxima [Max]. Logo, o formato dos resultados é um pouco diferente de outros cálculos realizados no Sage. Nesse caso, o resultado diz que a solução geral da equação diferencial é \(x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)\).

Você pode calcular a transformada de Laplace também; a transformada de Laplace de \(t^2e^t -\sin(t)\) é calculada da seguinte forma:

sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3
>>> from sage.all import *
>>> s = var("s")
>>> t = var("t")
>>> f = t**Integer(2)*exp(t) - sin(t)
>>> f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

A seguir, um exemplo mais complicado. O deslocamento, com respeito à posição de equilíbrio, de duas massas presas a uma parede através de molas, conforme a figura abaixo,

|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
         mola1                    mola2

é modelado pelo sistema de equações diferenciais de segunda ordem

\[ \begin{align}\begin{aligned}m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0\\m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,\end{aligned}\end{align} \]

onde, para \(i=1,2\), \(m_{i}\) é a massa do objeto i, \(x_{i}\) é o deslocamento com respeito à posição de equilíbrio da massa i, e \(k_{i}\) é a constante de mola para a mola i.

Exemplo: Use o Sage para resolver o problema acima com \(m_{1}=2\), \(m_{2}=1\), \(k_{1}=4\), \(k_{2}=2\), \(x_{1}(0)=3\), \(x_{1}'(0)=0\), \(x_{2}(0)=3\), \(x_{2}'(0)=0\).

Solução: Primeiramente, calcule a transformada de Laplace da primeira equação (usando a notação \(x=x_{1}\), \(y=x_{2}\)):

sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
>>> from sage.all import *
>>> de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
>>> lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

O resultado é um pouco difícil de ler, mas diz que

\[-2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0\]

(onde a transformada de Laplace de uma função em letra minúscula \(x(t)\) é a função em letra maiúscula \(X(s)\)). Agora, calcule a transformada de Laplace da segunda equação:

sage: t,s = SR.var('t,s')
sage: x = function('x')
sage: y = function('y')
sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
>>> from sage.all import *
>>> t,s = SR.var('t,s')
>>> x = function('x')
>>> y = function('y')
>>> f = Integer(2)*x(t).diff(t,Integer(2)) + Integer(6)*x(t) - Integer(2)*y(t)
>>> f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

O resultado significa que

\[-Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.\]

Em seguida, substitua a condição inicial para \(x(0)\), \(x'(0)\), \(y(0)\), e \(y'(0)\), e resolva as equações resultantes:

sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
  Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]
>>> from sage.all import *
>>> var('s X Y')
(s, X, Y)
>>> eqns = [(Integer(2)*s**Integer(2)+Integer(6))*X-Integer(2)*Y == Integer(6)*s, -Integer(2)*X +(s**Integer(2)+Integer(2))*Y == Integer(3)*s]
>>> solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
  Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

Agora calcule a transformada de Laplace inversa para obter a resposta:

sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)
>>> from sage.all import *
>>> var('s t')
(s, t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(9)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(15)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)

Portanto, a solução é

\[x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).\]

Ela pode ser representada em um gráfico parametricamente usando os comandos

sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
....: (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> P = parametric_plot((cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t) ),
... (t, Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.9')))
>>> show(P)

As componentes individuais podem ser representadas em gráfico usando

sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)
>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> p1 = plot(cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.3')))
>>> p2 = plot(Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
>>> show(p1 + p2)

Leia mais sobre gráficos em Gráficos. Veja a seção 5.5 de [NagleEtAl2004] (em inglês) para mais informações sobre equações diferenciais.

Método de Euler para Sistemas de Equações Diferenciais#

No próximo exemplo, vamos ilustrar o método de Euler para EDOs de primeira e segunda ordem. Primeiro, relembramos a ideia básica para equações de primeira ordem. Dado um problema de valor inicial da forma

\[y'=f(x,y), \quad y(a)=c,\]

queremos encontrar o valor aproximado da solução em \(x=b\) com \(b>a\).

Da definição de derivada segue que

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

onde \(h>0\) é um número pequeno. Isso, juntamente com a equação diferencial, implica que \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Agora resolvemos para \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).\]

Se chamarmos \(h f(x,y(x))\) de “termo de correção”, \(y(x)\) de “valor antigo de y”, e \(y(x+h)\) de “novo valor de y”, então essa aproximação pode ser reescrita como

\[y_{novo} \approx y_{antigo} + h*f(x,y_{antigo}).\]

Se dividirmos o intervalo de a até b em n partes, de modo que \(h=\frac{b-a}{n}\), então podemos construir a seguinte tabela.

\(x\)

\(y\)

\(hf(x,y)\)

\(a\)

\(c\)

\(hf(a,c)\)

\(a+h\)

\(c+hf(a,c)\)

\(a+2h\)

\(b=a+nh\)

???

O objetivo é completar os espaços em branco na tabela, em uma linha por vez, até atingirmos ???, que é a aproximação para \(y(b)\) usando o método de Euler.

A ideia para sistemas de EDOs é semelhante.

Exemplo: Aproxime numericamente \(z(t)\) em \(t=1\) usando 4 passos do método de Euler, onde \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\).

Devemos reduzir a EDO de segunda ordem a um sistema de duas EDOs de primeira ordem (usando \(x=z\), \(y=z'\)) e aplicar o método de Euler:

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022
>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Portanto, \(z(1)\approx 0.65\).

Podemos também representar em um gráfico os pontos \((x,y)\) para obter uma figura da solução aproximada. A função eulers_method_2x2_plot fará isso; para usá-la, precisamos definir funções f e g que recebam um argumento com três coordenadas (t, x, y).

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

A esta altura, P armazena dois gráficos: P[0], o gráfico de x versus t, e P[1], o gráfico de y versus t. Podemos visualizar os dois gráficos da seguinte forma:

sage: show(P[0] + P[1])
>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

(Para mais sobre gráficos, veja Gráficos.)

Funções Especiais#

Diversos polinômios ortogonais e funções especiais estão implementadas, usando tanto o PARI [GP] como o Maxima [Max]. Isso está documentado nas seções apropriadas (“Orthogonal polynomials” and “Special functions”, respectivamente) do manual de referência do Sage (em inglês).

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.56515910399248...
sage: bessel_I(2,1.1).n()  # last few digits are random
0.16708949925104...
>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.56515910399248...
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()  # last few digits are random
0.16708949925104...

No momento, essas funções estão disponíveis na interface do Sage apenas para uso numérico. Para uso simbólico, use a interface do Maxima diretamente, como no seguinte exemplo:

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'