Álgebra Elementar e Cálculo¶

O Sage pode realizar diversos cálculos em álgebra elementar e cálculo diferencial e integral: por exemplo, encontrar soluções de equações, diferenciar, integrar, e calcular a transformada de Laplace. Veja a documentação em Sage Constructions para mais exemplos.

Método de Euler para Sistemas de Equações Diferenciais¶

No próximo exemplo, vamos ilustrar o método de Euler para EDOs de primeira e segunda ordem. Primeiro, relembramos a ideia básica para equações de primeira ordem. Dado um problema de valor inicial da forma

\[y'=f(x,y), \quad y(a)=c,\]

queremos encontrar o valor aproximado da solução em \(x=b\) com \(b>a\).

Da definição de derivada segue que

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

onde \(h>0\) é um número pequeno. Isso, juntamente com a equação diferencial, implica que \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Agora resolvemos para \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).\]

Se chamarmos \(h f(x,y(x))\) de “termo de correção”, \(y(x)\) de “valor antigo de y”, e \(y(x+h)\) de “novo valor de y”, então essa aproximação pode ser reescrita como

\[y_{novo} \approx y_{antigo} + h*f(x,y_{antigo}).\]

Se dividirmos o intervalo de a até b em n partes, de modo que \(h=\frac{b-a}{n}\), então podemos construir a seguinte tabela.

\(x\)	\(y\)	\(hf(x,y)\)
\(a\)	\(c\)	\(hf(a,c)\)
\(a+h\)	\(c+hf(a,c)\)	…
\(a+2h\)	…
…
\(b=a+nh\)	???	…

O objetivo é completar os espaços em branco na tabela, em uma linha por vez, até atingirmos ???, que é a aproximação para \(y(b)\) usando o método de Euler.

A ideia para sistemas de EDOs é semelhante.

Exemplo: Aproxime numericamente \(z(t)\) em \(t=1\) usando 4 passos do método de Euler, onde \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\).

Devemos reduzir a EDO de segunda ordem a um sistema de duas EDOs de primeira ordem (usando \(x=z\), \(y=z'\)) e aplicar o método de Euler:

Sage

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Portanto, \(z(1)\approx 0.65\).

Podemos também representar em um gráfico os pontos \((x,y)\) para obter uma figura da solução aproximada. A função eulers_method_2x2_plot fará isso; para usá-la, precisamos definir funções f e g que recebam um argumento com três coordenadas (t, x, y).

Sage

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

A esta altura, P armazena dois gráficos: P[0], o gráfico de x versus t, e P[1], o gráfico de y versus t. Podemos visualizar os dois gráficos da seguinte forma:

Sage

sage: show(P[0] + P[1])

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

(Para mais sobre gráficos, veja Gráficos.)

Funções Especiais¶

Diversos polinômios ortogonais e funções especiais estão implementadas, usando tanto o PARI [GP] como o Maxima [Max]. Isso está documentado nas seções apropriadas (“Orthogonal polynomials” and “Special functions”, respectivamente) do manual de referência do Sage (em inglês).

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.56515910399248...
sage: bessel_I(2,1.1).n()  # last few digits are random
0.16708949925104...

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.56515910399248...
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()  # last few digits are random
0.16708949925104...

No momento, essas funções estão disponíveis na interface do Sage apenas para uso numérico. Para uso simbólico, use a interface do Maxima diretamente, como no seguinte exemplo:

Sage

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Álgebra Elementar e Cálculo¶

Resolvendo equações¶

Resolvendo equações exatamente¶

Resolvendo Equações Numericamente¶

Diferenciação, Integração, etc.¶

Resolvendo Equações Diferenciais¶

Método de Euler para Sistemas de Equações Diferenciais¶

Funções Especiais¶