接口问题

后台作业

没错，Sage 作业可以在 UNIX 系统上后台运行。通常做法是输入以下命令

$ nohup sage < command_file  > output_file &

使用 nohup 的优势在于即使你注销后，Sage 仍会继续运行。

目前在 (unix) top 命令的输出中，Sage 会显示为 "sage-ipython" 或 "python"， 但在 Sage 的未来版本中将显示为 sage。

引用 Sage

请参阅 citing Sage.

将 Sage 会话保存到日志

没错，你可以将会话保存到日志。

(a) 你可以通过在后台运行 Sage (后台作业) 将输出写入文件。

(b) 在 KDE konsole 中启动（仅适用于 Linux）。 进入 Settings \(\rightarrow\) History ... 并选择“无限制”。 启动你的会话。准备就绪后，进入 edit \(\rightarrow\) save history as ...。

某些接口（如 Singular 或 GAP 的接口）允许你创建日志文件。 对于 Singular，有一个日志文件选项（在 singular.py 中）。 在 GAP 中，使用命令 LogTo。

LaTeX 转换

没错，你可以将某些结果输出为 LaTeX。

sage: M = MatrixSpace(RealField(),3,3)
sage: A = M([1,2,3, 4,5,6, 7,8,9])
sage: print(latex(A))
\left(\begin{array}{rrr}
    1.00000000000000 & 2.00000000000000 & 3.00000000000000 \\
    4.00000000000000 & 5.00000000000000 & 6.00000000000000 \\
    7.00000000000000 & 8.00000000000000 & 9.00000000000000
    \end{array}\right)

>>> from sage.all import *
>>> M = MatrixSpace(RealField(),Integer(3),Integer(3))
>>> A = M([Integer(1),Integer(2),Integer(3), Integer(4),Integer(5),Integer(6), Integer(7),Integer(8),Integer(9)])
>>> print(latex(A))
\left(\begin{array}{rrr}
    1.00000000000000 & 2.00000000000000 & 3.00000000000000 \\
    4.00000000000000 & 5.00000000000000 & 6.00000000000000 \\
    7.00000000000000 & 8.00000000000000 & 9.00000000000000
    \end{array}\right)

sage: view(A)

>>> from sage.all import *
>>> view(A)

此时会自动调用 dvi 预览，在单独的窗口中显示生成的 LaTeX 输出。

还可以预览多元多项式和有理函数的 LaTeX：

sage: x = PolynomialRing(QQ,3, 'x').gens()
sage: f = x[0] + x[1] - 2*x[1]*x[2]
sage: h = f /(x[1] + x[2])
sage: print(latex(h))
\frac{-2 x_{1} x_{2} + x_{0} + x_{1}}{x_{1} + x_{2}}

>>> from sage.all import *
>>> x = PolynomialRing(QQ,Integer(3), 'x').gens()
>>> f = x[Integer(0)] + x[Integer(1)] - Integer(2)*x[Integer(1)]*x[Integer(2)]
>>> h = f /(x[Integer(1)] + x[Integer(2)])
>>> print(latex(h))
\frac{-2 x_{1} x_{2} + x_{0} + x_{1}}{x_{1} + x_{2}}

Sage 与其他计算机代数系统

如果 foo 是 Pari、GAP（不以分号结尾）、Singular、Maxima 命令， 对于 Pari，请输入 gp("foo")， 对于 GAP，请输入 libgap.eval("foo")， 对于 Singular，请输入 singular.eval("foo")， 对于 Maxima，请输入 maxima("foo")。 这些程序仅仅是将命令字符串发送到外部程序，并执行它，然后将结果读取回 Sage。 因此，如果外部程序没有安装并包含在 PATH 中，这些程序将无法工作。

命令行上的 Sage 帮助

如果你只知道 Sage 命令的部分名称，但想知道它在 Sage 中的位置，只需输入 sage -grep <string> 即可在 Sage 源代码中查找所有出现 <string> 的地方。例如，

$ sage -grep berlekamp_massey
matrix/all.py:from berlekamp_massey import berlekamp_massey
matrix/berlekamp_massey.py:def berlekamp_massey(a):
matrix/matrix.py:import berlekamp_massey
matrix/matrix.py:            g =
berlekamp_massey.berlekamp_massey(cols[i].list())

输入 help(foo) 或 foo?? 获取帮助， 输入 foo.[tab] 来搜索 Sage 命令。输入 help() 获取 Python 命令的帮助。

例如

help(Matrix)

会在新屏幕中返回

Help on cython_function_or_method in module sage.matrix.constructor:

matrix(*args, **kwds)
    matrix(*args, **kwds)
    File: sage/matrix/constructor.pyx (starting at line 21)

        Create a matrix.

        This implements the ``matrix`` constructor::

            sage: matrix([[1,2],[3,4]])
            [1 2]
            [3 4]

        It also contains methods to create special types of matrices, see
        ``matrix.[tab]`` for more options. For example::
--More--

输入 q 返回 Sage 屏幕。

读取和导入文件到 Sage

导入到 Sage 的文件必须以 \(.py`\) 结尾，例如 foo.py，并且包含合法的 Python 语法。 前文 置换群 中的魔方群是一个简单示例。

另一种读取文件的方法是使用 load 或 attach 命令。 创建一个名为 example.sage 的文件（位于 Sage 的主目录中），内容如下：

print("Hello World")
print(2^3)

使用 load 命令读取并执行 example.sage 文件：

sage: load("example.sage")
Hello World
8

>>> from sage.all import *
>>> load("example.sage")
Hello World
8

你也可以将 Sage 文件 attach 到正在运行的会话中：

sage: attach("example.sage")
Hello World
8

>>> from sage.all import *
>>> attach("example.sage")
Hello World
8

现在，如果你更改 example.sage 并在 Sage 中输入空行， 那么 example.sage 的内容将自动重新加载到 Sage 中：

sage: !emacs example.sage&     #change 2^3 to 2^4
sage:                          #hit return
***************************************************
                Reloading 'example.sage'
***************************************************
Hello World
16

>>> from sage.all import *
>>> !emacs example.sage&     #change 2^3 to 2^4
>>>                          #hit return
***************************************************
                Reloading 'example.sage'
***************************************************
Hello World
16

Sage 命令的 Python 语言程序代码

假设你想知道 Sage 命令中用于计算置换群中心的 Python 程序是什么。 可以使用 Sage 的帮助界面查找文件名：

sage: PermutationGroup.center?
Type:           instancemethod
Base Class:     <class 'instancemethod'>
String Form:    <unbound method PermutationGroup.center>
Namespace:      Interactive
File:           /home/wdj/sage/local/lib/python2.4/site-packages/sage/groups/permgroup.py
Definition:     PermutationGroup.center(self)

>>> from sage.all import *
>>> PermutationGroup.center?
Type:           instancemethod
Base Class:     <class 'instancemethod'>
String Form:    <unbound method PermutationGroup.center>
Namespace:      Interactive
File:           /home/wdj/sage/local/lib/python2.4/site-packages/sage/groups/permgroup.py
Definition:     PermutationGroup.center(self)

现在你知道该命令位于 permgroup.py 文件中，并且知道该 Python 模块的目录。你可以使用编辑器来阅读源代码。

Sage 中的“特殊函数”

Sage 有许多特殊函数（请参见参考手册 http://doc.sagemath.org/html/en/reference/functions/ ）， 并且大多数可以进行符号操作。如果尚未实现，则其他符号包可能具有此功能。

通过 Maxima，可以进行一些符号操作：

sage: maxima.eval("f:bessel_y (v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
sage: maxima.eval("diff (jacobi_sn (u, m), u)")
'jacobi_cn(u,m)*jacobi_dn(u,m)'
sage: jsn = lambda x: jacobi("sn",x,1)
sage: P = plot(jsn,0,1, plot_points=20); Q = plot(lambda x:bessel_Y( 1, x), 1/2,1)
sage: show(P)
sage: show(Q)

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y (v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
>>> maxima.eval("diff (jacobi_sn (u, m), u)")
'jacobi_cn(u,m)*jacobi_dn(u,m)'
>>> jsn = lambda x: jacobi("sn",x,Integer(1))
>>> P = plot(jsn,Integer(0),Integer(1), plot_points=Integer(20)); Q = plot(lambda x:bessel_Y( Integer(1), x), Integer(1)/Integer(2),Integer(1))
>>> show(P)
>>> show(Q)

除了 maxima 外，pari 和 octave 也有特殊函数（实际上，Sage 封装了一些 pari 的特殊函数）。

下面是使用 Sage 接口（位于 sage/interfaces/octave.py）和 octave (https://www.gnu.org/software/octave/doc/latest) 的示例。

sage: octave("atanh(1.1)")   ## optional - octave
(1.52226,1.5708)

>>> from sage.all import *
>>> octave("atanh(1.1)")   ## optional - octave
(1.52226,1.5708)

下面是使用 Sage 接口调用 pari 特殊函数的示例。

sage: pari('2+I').besselk(3)
0.0455907718407551 + 0.0289192946582081*I
sage: pari('2').besselk(3)
0.0615104584717420

>>> from sage.all import *
>>> pari('2+I').besselk(Integer(3))
0.0455907718407551 + 0.0289192946582081*I
>>> pari('2').besselk(Integer(3))
0.0615104584717420

Sage 是什么？

Sage 是一个用来进行数论、代数和几何计算的框架，最初设计用于椭圆曲线和模形式的计算。 其长期目标是使其更广泛地应用于代数、几何和数论。它是开源的，并根据 GPL 条款免费提供。 可以从参考手册中的章节标题大致了解 Sage 涵盖的主题。

Sage 的历史

Sage 由 William Stein 于 2004 年秋在哈佛大学创立， 0.1 版于 2005 年 1 月发布。该版本包括 Pari，但不包括 GAP 或 Singular。 0.2 版于 3 月发布， 0.3 版于 4 月发布， 0.4 版于 7 月发布。在此期间，Sage 增加了对 Cremona 数据库、多元多项式和大型有限域的支持。此外，还编写了更多的文档。 0.5 beta 版于 8 月发布， 0.6 beta 版于 9 月发布， 0.7 版于同月晚些时候发布。在此期间，增加了对向量空间、环、模符号和 Windows 用户的支持。 自 2005 年 10 月发布 0.8 版本以来，Sage 包含了 GAP 和 Singular 的完整发行版，尽管某些 GAP 数据库需要单独添加。 添加 Singular 并不容易，因为从源代码编译 Singular 非常困难。 0.9 版于 11 月发布。该版本经历了 34 次发布！ 自 0.9.34 版（肯定在 0.10.0 版之前）以来，Maxima 和 clisp 被包含在 Sage 中。 0.10.0 版于 2006 年 1 月 12 日发布。 Sage 1.0 版于 2006 年 2 月初发布。 截至 2008 年 2 月，最新版本为 2.10.2。

许多人贡献了重要的代码和其他专业技术，例如协助在各种操作系统上进行编译。 一般来说，代码作者会在其 Python 文档的 AUTHOR 部分以及 Sage 网站的鸣谢部分予以体现。