绘图¶

Sage 可以使用 matplotlib, openmath, gnuplot 或 surf 进行绘图，但在标准发行版中只有 matplotlib 和 openmath 包含在内。有关 surf 的示例，请参见绘制曲面。

在 Sage 中有许多不同的绘图方式。你可以使用 gnuplot 绘制函数（二维或三维）或者点集（仅支持二维），你可以使用 Maxima 绘制微分方程的解（调用 gnuplot 或 openmath），或者使用 Singular 的接口与绘图包 surf 进行绘图（不包含在 Sage 中）。 gnuplot 没有隐式绘图命令，所以如果你想使用隐式绘图绘制曲线或曲面，如在章节‘ch:AG，代数几何’中所述，最好使用 Singular 的 surf 接口。

二维函数绘图¶

默认的绘图方法使用优秀的 matplotlib 包。

要查看绘图，请输入 P.save("<path>/myplot.png")，然后在诸如 gimp 之类的图形查看器中打开它。

如下例所示，可以绘制分段函数：

Sage

sage: f1 = 1
sage: f2 = 1-x
sage: f3 = exp(x)
sage: f4 = sin(2*x)
sage: f = piecewise([((0,1),f1), ((1,2),f2), ((2,3),f3), ((3,10),f4)])
sage: f.plot(x,0,10)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Python

>>> from sage.all import *
>>> f1 = Integer(1)
>>> f2 = Integer(1)-x
>>> f3 = exp(x)
>>> f4 = sin(Integer(2)*x)
>>> f = piecewise([((Integer(0),Integer(1)),f1), ((Integer(1),Integer(2)),f2), ((Integer(2),Integer(3)),f3), ((Integer(3),Integer(10)),f4)])
>>> f.plot(x,Integer(0),Integer(10))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

还可以生成其他函数图像：

雅可比椭圆函数 \(\text{sn}(x,2)\), \(-3<x<3\) 的红色图像（请勿输入 ....:）:

Sage

sage: L = [(i/100.0, maxima.eval('jacobi_sn (%s/100.0,2.0)'%i))
....:     for i in range(-300,300)]
sage: show(line(L, rgbcolor=(3/4,1/4,1/8)))

Python

>>> from sage.all import *
>>> L = [(i/RealNumber('100.0'), maxima.eval('jacobi_sn (%s/100.0,2.0)'%i))
...     for i in range(-Integer(300),Integer(300))]
>>> show(line(L, rgbcolor=(Integer(3)/Integer(4),Integer(1)/Integer(4),Integer(1)/Integer(8))))

\(J\)-贝塞尔函数 \(J_2(x)\), \(0<x<10\) 的红色图像：

Sage

sage: L = [(i/10.0, maxima.eval('bessel_j (2,%s/10.0)'%i)) for i in range(100)]
sage: show(line(L, rgbcolor=(3/4,1/4,5/8)))

Python

>>> from sage.all import *
>>> L = [(i/RealNumber('10.0'), maxima.eval('bessel_j (2,%s/10.0)'%i)) for i in range(Integer(100))]
>>> show(line(L, rgbcolor=(Integer(3)/Integer(4),Integer(1)/Integer(4),Integer(5)/Integer(8))))

黎曼 \(\zeta\) 函数 \(\zeta(1/2 + it)\), \(0<t<30\) 的紫色图像：

Sage

sage: I = CDF.0
sage: show(line([zeta(1/2 + k*I/6) for k in range(180)], rgbcolor=(3/4,1/2,5/8)))

Python

>>> from sage.all import *
>>> I = CDF.gen(0)
>>> show(line([zeta(Integer(1)/Integer(2) + k*I/Integer(6)) for k in range(Integer(180))], rgbcolor=(Integer(3)/Integer(4),Integer(1)/Integer(2),Integer(5)/Integer(8))))

openmath¶

Openmath 是由 W. Schelter 编写的 TCL/Tk GUI 绘图程序。

以下命令绘制函数 \(\cos(2x)+2e^{-x}\)

Sage

sage: maxima.plot2d('cos(2*x) + 2*exp(-x)','[x,0,1]',  # not tested (pops up a window)
....:     '[plot_format,openmath]')

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.plot2d('cos(2*x) + 2*exp(-x)','[x,0,1]',  # not tested (pops up a window)
...     '[plot_format,openmath]')

(Mac OS X 用户请注意：这些 openmath 命令是在一个 xterm shell 会话中运行的，而不是使用标准的 Mac 终端应用程序。)

Sage

sage: maxima.eval('load("plotdf");')
'".../share/maxima.../share/dynamics/plotdf.lisp"'
sage: maxima.eval('plotdf(x+y,[trajectory_at,2,-0.1]); ')  # not tested

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval('load("plotdf");')
'".../share/maxima.../share/dynamics/plotdf.lisp"'
>>> maxima.eval('plotdf(x+y,[trajectory_at,2,-0.1]); ')  # not tested

这里绘制了一个方向场（plotdf Maxima 包也由 W. Schelter 编写。）

多个函数的二维绘图：

Sage

sage: maxima.plot2d('[x,x^2,x^3]','[x,-1,1]','[plot_format,openmath]')  # not tested

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.plot2d('[x,x^2,x^3]','[x,-1,1]','[plot_format,openmath]')  # not tested

Openmath 还可以绘制 \(z=f(x,y)\) 形式的三维曲面，其中 \(x\) 和 \(y\) 在矩形范围内。例如，这里有一个可以用鼠标移动的“实时”三维图：

Sage

sage: maxima.plot3d ("sin(x^2 + y^2)", "[x, -3, 3]", "[y, -3, 3]",  # not tested
....:     '[plot_format, openmath]')

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.plot3d ("sin(x^2 + y^2)", "[x, -3, 3]", "[y, -3, 3]",  # not tested
...     '[plot_format, openmath]')

通过适当旋转，你可以查看轮廓图。

Tachyon 3D 绘图¶

光线追踪包 Tachyon 随 Sage 一起分发。3D 图看起来非常漂亮，但通常需要更多的配置。下面是一个参数空间曲线的示例：

Sage

sage: f = lambda t: (t,t^2,t^3)
sage: t = Tachyon(camera_center=(5,0,4))
sage: t.texture('t')
sage: t.light((-20,-20,40), 0.2, (1,1,1))
sage: t.parametric_plot(f,-5,5,'t',min_depth=6)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda t: (t,t**Integer(2),t**Integer(3))
>>> t = Tachyon(camera_center=(Integer(5),Integer(0),Integer(4)))
>>> t.texture('t')
>>> t.light((-Integer(20),-Integer(20),Integer(40)), RealNumber('0.2'), (Integer(1),Integer(1),Integer(1)))
>>> t.parametric_plot(f,-Integer(5),Integer(5),'t',min_depth=Integer(6))

输入 t.show() 查看该曲线。

参考手册中有其他示例。

gnuplot¶

必须安装 gnuplot 才能运行这些命令。

首先，这是绘制函数的方法：{plot!a function}

Sage

sage: maxima.plot2d('sin(x)','[x,-5,5]')
sage: opts = '[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "sin-plot.eps"]'
sage: maxima.plot2d('sin(x)','[x,-5,5]',opts)
sage: opts = '[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "/tmp/sin-plot.eps"]'
sage: maxima.plot2d('sin(x)','[x,-5,5]',opts)

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.plot2d('sin(x)','[x,-5,5]')
>>> opts = '[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "sin-plot.eps"]'
>>> maxima.plot2d('sin(x)','[x,-5,5]',opts)
>>> opts = '[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "/tmp/sin-plot.eps"]'
>>> maxima.plot2d('sin(x)','[x,-5,5]',opts)

默认情况下 eps 文件保存在当前目录，但你可以指定保存路径。

下面是在平面上绘制参数曲线的示例：

Sage

sage: maxima.plot2d_parametric(["sin(t)","cos(t)"], "t",[-3.1,3.1])
sage: opts = '[gnuplot_preamble, "set nokey"], [gnuplot_term, ps],
....:     [gnuplot_out_file, "circle-plot.eps"]'
sage: maxima.plot2d_parametric(["sin(t)","cos(t)"], "t", [-3.1,3.1], options=opts)

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.plot2d_parametric(["sin(t)","cos(t)"], "t",[-RealNumber('3.1'),RealNumber('3.1')])
>>> opts = '[gnuplot_preamble, "set nokey"], [gnuplot_term, ps],
...     [gnuplot_out_file, "circle-plot.eps"]'
>>> maxima.plot2d_parametric(["sin(t)","cos(t)"], "t", [-RealNumber('3.1'),RealNumber('3.1')], options=opts)

下面是在三维空间中绘制参数曲面的示例: {plot!a parametric surface}

Sage

sage: maxima.plot3d_parametric(["v*sin(u)","v*cos(u)","v"], ["u","v"],
....:     [-3.2,3.2],[0,3])
sage: opts = '[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "sin-cos-plot.eps"]'
sage: maxima.plot3d_parametric(["v*sin(u)","v*cos(u)","v"], ["u","v"],
....:     [-3.2,3.2],[0,3],opts)

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.plot3d_parametric(["v*sin(u)","v*cos(u)","v"], ["u","v"],
...     [-RealNumber('3.2'),RealNumber('3.2')],[Integer(0),Integer(3)])
>>> opts = '[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "sin-cos-plot.eps"]'
>>> maxima.plot3d_parametric(["v*sin(u)","v*cos(u)","v"], ["u","v"],
...     [-RealNumber('3.2'),RealNumber('3.2')],[Integer(0),Integer(3)],opts)

为了演示如何传递 gnuplot 选项，下面是关于绘制黎曼 \(\zeta\) 函数 \(\zeta(s)\) 上一系列点的示例（使用 Pari 计算，但使用 Maxima 和 Gnuplot 绘图）: {plot!points} {Riemann zeta function}

Sage

sage: zeta_ptsx = [ (pari(1/2 + i*I/10).zeta().real()).precision(1)
....:     for i in range(70,150)]
sage: zeta_ptsy = [ (pari(1/2 + i*I/10).zeta().imag()).precision(1)
....:     for i in range(70,150)]
sage: maxima.plot_list(zeta_ptsx, zeta_ptsy)  # optional -- pops up a window.
sage: opts='[gnuplot_preamble, "set nokey"], [gnuplot_term, ps],
....:     [gnuplot_out_file, "zeta.eps"]'
sage: maxima.plot_list(zeta_ptsx, zeta_ptsy, opts) # optional -- pops up a window.

Python

>>> from sage.all import *
>>> zeta_ptsx = [ (pari(Integer(1)/Integer(2) + i*I/Integer(10)).zeta().real()).precision(Integer(1))
...     for i in range(Integer(70),Integer(150))]
>>> zeta_ptsy = [ (pari(Integer(1)/Integer(2) + i*I/Integer(10)).zeta().imag()).precision(Integer(1))
...     for i in range(Integer(70),Integer(150))]
>>> maxima.plot_list(zeta_ptsx, zeta_ptsy)  # optional -- pops up a window.
>>> opts='[gnuplot_preamble, "set nokey"], [gnuplot_term, ps],
...     [gnuplot_out_file, "zeta.eps"]'
>>> maxima.plot_list(zeta_ptsx, zeta_ptsy, opts) # optional -- pops up a window.

绘制曲面¶

绘制曲面与绘制曲线并无太大区别，尽管语法稍有不同。特别是，你需要加载 surf。 {plot!surface using surf}

Sage

sage: singular.eval('ring rr1 = 0,(x,y,z),dp;')
''
sage: singular.eval('ideal I(1) = 2x2-1/2x3 +1-y+1;')
''
sage: singular.eval('plot(I(1));')
...

Python

>>> from sage.all import *
>>> singular.eval('ring rr1 = 0,(x,y,z),dp;')
''
>>> singular.eval('ideal I(1) = 2x2-1/2x3 +1-y+1;')
''
>>> singular.eval('plot(I(1));')
...

绘图¶

二维函数绘图¶

绘制曲线¶

matplotlib¶

surf¶

openmath¶

Tachyon 3D 绘图¶

gnuplot¶

绘制曲面¶