模形式¶
SageMath 的计算专长之一是模形式（非常技术性的领域），它能做的远远超出这篇非常简短的介绍所给出的内容。
尖点形式¶
如何使用 Sage 计算尖点形式空间的维数？
要计算 Gamma 尖点形式空间的维数，请使用命令 dimension_cusp_forms。
以下是教程中“模形式”章节的一个示例：
sage: from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112
>>> from sage.all import *
>>> from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(11)),Integer(2))
1
>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(1)),Integer(12))
1
>>> dimension_cusp_forms(Gamma1(Integer(389)),Integer(2))
6112
相关命令：dimension_new__cusp_forms_gamma0 （用于新形式的维数）、
dimension_new__cusp_forms_gamma0 （用于模形式）
以及 dimension_eis （用于艾森斯坦级数）。
这些命令的语法类似 - 可以参阅参考手册中的示例。
陪集表示¶
算术商 \(H/\Gamma\) 的基本定义域的显式表示可以通过 \(\Gamma\) 在 \(SL_2(\ZZ)\) 上的陪集来确定。 这些陪集是如何在 Sage 中计算的呢？
以下是计算 \(SL_2(\ZZ)/\Gamma_0(11)\) 的陪集表示的示例：
sage: G = Gamma0(11); G
Congruence Subgroup Gamma0(11)
sage: list(G.coset_reps())
[
[1 0] [ 0 -1] [1 0] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1]
[0 1], [ 1 0], [1 1], [ 1 2], [ 1 3], [ 1 4], [ 1 5], [ 1 6],
[ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1]
[ 1 7], [ 1 8], [ 1 9], [ 1 10]
]
>>> from sage.all import *
>>> G = Gamma0(Integer(11)); G
Congruence Subgroup Gamma0(11)
>>> list(G.coset_reps())
[
[1 0] [ 0 -1] [1 0] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1]
[0 1], [ 1 0], [1 1], [ 1 2], [ 1 3], [ 1 4], [ 1 5], [ 1 6],
<BLANKLINE>
[ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1] [ 0 -1]
[ 1 7], [ 1 8], [ 1 9], [ 1 10]
]
模符号和 Hecke 算子¶
接下来我们展示如何在级别为 1、权重为 12 的模符号空间上计算 Hecke 算子。
sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)
sage: f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2
>>> from sage.all import *
>>> M = ModularSymbols(Integer(1),Integer(12))
>>> M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
>>> t2 = M.T(Integer(2))
>>> f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
>>> factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
>>> M.T(Integer(11)).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2
这里 t2 表示 \(\QQ\) 上对权重为 \(12\) 、符号为 \(0\)
且维度为 \(3\) 的 \(\Gamma_0(1)\) 的完整模符号空间的 Hecke 算子 \(T_2\)。
sage: M = ModularSymbols(Gamma1(6),3,sign=0)
sage: M
Modular Symbols space of dimension 4 for Gamma_1(6) of weight 3 with sign 0
over Rational Field
sage: M.basis()
([X,(0,5)], [X,(3,5)], [X,(4,5)], [X,(5,5)])
sage: M._compute_hecke_matrix_prime(2).charpoly()
x^4 - 17*x^2 + 16
sage: M.integral_structure()
Free module of degree 4 and rank 4 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
>>> from sage.all import *
>>> M = ModularSymbols(Gamma1(Integer(6)),Integer(3),sign=Integer(0))
>>> M
Modular Symbols space of dimension 4 for Gamma_1(6) of weight 3 with sign 0
over Rational Field
>>> M.basis()
([X,(0,5)], [X,(3,5)], [X,(4,5)], [X,(5,5)])
>>> M._compute_hecke_matrix_prime(Integer(2)).charpoly()
x^4 - 17*x^2 + 16
>>> M.integral_structure()
Free module of degree 4 and rank 4 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
更多示例请参阅教程或参考手册中的模形式章节。
亏格公式 (Genus formulas)¶
Sage 可以计算 \(X_0(N)\), \(X_1(N)\) 及相关曲线的亏格 (genus)。 以下是一些语法示例：
sage: from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(22))
2
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(30))
3
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(30))
9
>>> from sage.all import *
>>> from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(22)))
2
>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(30)))
3
>>> dimension_cusp_forms(Gamma1(Integer(30)))
9
请参阅计算模形式空间维数的代码（在 sage/modular/dims.py 中）
或 Oesterlé 和 Cohen 的论文 {CO}，获取详细信息。