环¶
矩阵环¶
如何在 Sage 中构建有限环上的矩阵环？MatrixSpace 构造函数接受任意环作为基环。下面是语法示例：
sage: R = IntegerModRing(51)
sage: M = MatrixSpace(R,3,3)
sage: M(0)
[0 0 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
sage: M(1)
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
sage: 5*M(1)
[5 0 0]
[0 5 0]
[0 0 5]
>>> from sage.all import *
>>> R = IntegerModRing(Integer(51))
>>> M = MatrixSpace(R,Integer(3),Integer(3))
>>> M(Integer(0))
[0 0 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
>>> M(Integer(1))
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
>>> Integer(5)*M(Integer(1))
[5 0 0]
[0 5 0]
[0 0 5]
多项式环¶
如何在 Sage 中构建有限域上的多项式环？ 下面是一个示例：
sage: R = PolynomialRing(GF(97),'x')
sage: x = R.gen()
sage: f = x^2+7
sage: f in R
True
>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(GF(Integer(97)),'x')
>>> x = R.gen()
>>> f = x**Integer(2)+Integer(7)
>>> f in R
True
下面是使用 Singular 接口的示例：
sage: R = singular.ring(97, '(a,b,c,d)', 'lp')
sage: I = singular.ideal(['a+b+c+d', 'ab+ad+bc+cd', 'abc+abd+acd+bcd', 'abcd-1'])
sage: R
polynomial ring, over a field, global ordering
// coefficients: ZZ/97...
// number of vars : 4
// block 1 : ordering lp
// : names a b c d
// block 2 : ordering C
sage: I
a+b+c+d,
a*b+a*d+b*c+c*d,
a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d,
a*b*c*d-1
>>> from sage.all import *
>>> R = singular.ring(Integer(97), '(a,b,c,d)', 'lp')
>>> I = singular.ideal(['a+b+c+d', 'ab+ad+bc+cd', 'abc+abd+acd+bcd', 'abcd-1'])
>>> R
polynomial ring, over a field, global ordering
// coefficients: ZZ/97...
// number of vars : 4
// block 1 : ordering lp
// : names a b c d
// block 2 : ordering C
>>> I
a+b+c+d,
a*b+a*d+b*c+c*d,
a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d,
a*b*c*d-1
下面是另一个使用 GAP 的方法：
sage: R = libgap.PolynomialRing(GF(97), 4); R
GF(97)[x_1,x_2,x_3,x_4]
sage: I = R.IndeterminatesOfPolynomialRing(); I
[ x_1, x_2, x_3, x_4 ]
sage: x1, x2, x3, x4 = I
sage: f = x1*x2 + x3; f
x_1*x_2+x_3
sage: f.Value(I,[1,1,1,1])
Z(97)^34
>>> from sage.all import *
>>> R = libgap.PolynomialRing(GF(Integer(97)), Integer(4)); R
GF(97)[x_1,x_2,x_3,x_4]
>>> I = R.IndeterminatesOfPolynomialRing(); I
[ x_1, x_2, x_3, x_4 ]
>>> x1, x2, x3, x4 = I
>>> f = x1*x2 + x3; f
x_1*x_2+x_3
>>> f.Value(I,[Integer(1),Integer(1),Integer(1),Integer(1)])
Z(97)^34
\(p\)-进数¶
如何在 Sage 中构建 \(p\)-进数? Sage 在这方面取得了很大的进展（参见 David Harvey 和 David Roe 在 SageDays 上的演讲）。 这里只给出一些简单的示例。
要计算 Qp 中整数的 Zp 环的特征和剩余类域，请使用以下示例所示语法。
sage: K = Qp(3)
sage: K.residue_class_field()
Finite Field of size 3
sage: K.residue_characteristic()
3
sage: a = K(1); a
1 + O(3^20)
sage: 82*a
1 + 3^4 + O(3^20)
sage: 12*a
3 + 3^2 + O(3^21)
sage: a in K
True
sage: b = 82*a
sage: b^4
1 + 3^4 + 3^5 + 2*3^9 + 3^12 + 3^13 + 3^16 + O(3^20)
>>> from sage.all import *
>>> K = Qp(Integer(3))
>>> K.residue_class_field()
Finite Field of size 3
>>> K.residue_characteristic()
3
>>> a = K(Integer(1)); a
1 + O(3^20)
>>> Integer(82)*a
1 + 3^4 + O(3^20)
>>> Integer(12)*a
3 + 3^2 + O(3^21)
>>> a in K
True
>>> b = Integer(82)*a
>>> b**Integer(4)
1 + 3^4 + 3^5 + 2*3^9 + 3^12 + 3^13 + 3^16 + O(3^20)
多项式的商环¶
如何在 Sage 中构建商环？
我们创建商环 \(GF(97)[x]/(x^3+7)\)，并展示许多基本函数。
sage: R = PolynomialRing(GF(97),'x')
sage: x = R.gen()
sage: S = R.quotient(x^3 + 7, 'a')
sage: a = S.gen()
sage: S
Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Finite Field of size 97 with
modulus x^3 + 7
sage: S.is_field()
True
sage: a in S
True
sage: x in S
True
sage: S.polynomial_ring()
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 97
sage: S.modulus()
x^3 + 7
sage: S.degree()
3
>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(GF(Integer(97)),'x')
>>> x = R.gen()
>>> S = R.quotient(x**Integer(3) + Integer(7), 'a')
>>> a = S.gen()
>>> S
Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Finite Field of size 97 with
modulus x^3 + 7
>>> S.is_field()
True
>>> a in S
True
>>> x in S
True
>>> S.polynomial_ring()
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 97
>>> S.modulus()
x^3 + 7
>>> S.degree()
3
在 Sage 中，in 表示存在对该环的“标准强制转换”。
因此整数 \(x\) 和 \(a\) 都在 \(S\) 中，
虽然 \(x\) 实际上需要被强制转换。
你还可以在商环中进行计算，而无需实际计算，然后使用 quo_rem 命令，如下所示：
sage: R = PolynomialRing(GF(97),'x')
sage: x = R.gen()
sage: f = x^7+1
sage: (f^3).quo_rem(x^7-1)
(x^14 + 4*x^7 + 7, 8)
>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(GF(Integer(97)),'x')
>>> x = R.gen()
>>> f = x**Integer(7)+Integer(1)
>>> (f**Integer(3)).quo_rem(x**Integer(7)-Integer(1))
(x^14 + 4*x^7 + 7, 8)