Elementare Algebra und Analysis¶

Sage kann viele zur elementaren Algebra und Analysis gehörende Probleme lösen. Zum Beispiel: Lösungen von Gleichungen finden, Differentiation, Integration, und Laplace-Transformationen berechnen. Lesen Sie die Sage Constructions Dokumentation um weitere Beispiele zu finden.

Das Euler-Verfahren zur Lösung von Systemen von Differentialgleichungen¶

Im nächsten Beispiel illustrieren wir das Euler-Verfahren für ODEs erster und zweiter Ordnung. Wir rufen zunächst die grundlegende Idee für Differentialgleichungen erster Ordnung in Erinnerung. Sei ein Anfangswertproblem der Form

\[y'=f(x,y), \quad y(a)=c,\]

gegeben. Wir möchten eine Approximation des Wertes der Lösung bei \(x=b\) mit \(b>a\) finden.

Machen Sie sich anhand der Definition der Ableitung klar, dass

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

wobei \(h>0\) vorgegeben und klein ist. Zusammen mit der Differentialgleichung gibt dies \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\). Jetzt lösen wir nach \(y(x+h)\) auf:

\[y(x+h) \approx y(x) + h\cdot f(x,y(x)).\]

Wenn wir \(h\cdot f(x,y(x))\) den „Korrekturterm“, \(y(x)\) den „alten Wert von \(y\)“ und \(y(x+h)\) den „neuen Wert von \(y\)“ nennen, kann diese Approximation neu ausgedrückt werden als:

\[y_{new} \approx y_{old} + h\cdot f(x,y_{old}).\]

Wenn wir das Intervall von \(a\) bis \(b\) in \(n\) Teilintervalle aufteilen, so dass \(h=\frac{b-a}{n}\) gilt, können wir die Information in folgender Tabelle festhalten.

\(x\)	\(y\)	\(h\cdot f(x,y)\)
\(a\)	\(c\)	\(h\cdot f(a,c)\)
\(a+h\)	\(c+h\cdot f(a,c)\)	…
\(a+2h\)	…
…
\(b=a+nh\)	???	…

Unser Ziel ist zeilenweise alle leeren Einträge der Tabelle auszufüllen, bis wir den Eintrag ??? erreichen, welcher die Approximation des Euler-Verfahrens für \(y(b)\) ist.

Die Idee für Systeme von ODEs ist ähnlich.

Beispiel: Approximiere \(z(t)\), mit 4 Schritten der: Eulermethode numerisch bei \(t=1\) , wobei \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\) und \(z'(0)=0\) ist.

Wir müssen die ODE zweiter Ordnung auf ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung reduzieren (wobei \(x=z\), \(y=z'\)) und das Euler-Verfahren anwenden:

Sage

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Also ist \(z(1)\approx 0.75\).

Wir können auch die Punkte \((x,y)\) plotten um ein ungefähres Bild der Kurve zu erhalten. Die Funktion eulers_method_2x2_plot macht dies; um sie zu benutzen, müssen wir die Funktionen \(f\) und \(g\) definieren, welche ein Argument mit drei Koordinaten (\(t\), \(x\), \(y\)) erwarten.

Sage

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

Zu diesem Zeitpunkt enthält P die beiden Plots P[0] (der Plot von \(x\) nach \(t\)) und P[1] (der Plot von \(y\) nach \(t\)). Wir können beide wie folgt anzeigen:

Sage

sage: show(P[0] + P[1])

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

(Um mehr über das Plotten zu erfahren, lesen Sie Plotten.)

Spezielle Funktionen¶

Mehrere orthogonale Polynome und spezielle Funktionen sind implementiert, wobei sowohl PARI [GP] als auch Maxima [Max] verwendet wird. Sie sind in den dazugehörigen Abschnitten („Orthogonal polynomials“ beziehungsweise „Special functions“) des Sage Referenzhandbuchs dokumentiert.

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()
0.167089499251049

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.565159103992485
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()
0.167089499251049

Zum jetzigen Zeitpunkt, enthält Sage nur Wrapper-Funktionen für numerische Berechnungen. Um symbolisch zu rechen, rufen Sie die Maxima-Schnittstelle bitte, wie im folgenden Beispiel, direkt auf

Sage

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Elementare Algebra und Analysis¶

Lösen von Gleichungen¶

Gleichungen exakt lösen¶

Gleichungen numerisch lösen¶

Differentiation, Integration, etc.¶

Lösen von Differentialgleichungen¶

Das Euler-Verfahren zur Lösung von Systemen von Differentialgleichungen¶

Spezielle Funktionen¶