Polynome#
In diesem Abschnitt erläutern wir, wie man in Sage Polynome erzeugt und benutzt.
Polynome in einer Unbestimmten#
Es gibt drei Möglichkeiten Polynomringe zu erzeugen.
sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field
Dies erzeugt einen Polynomring und teilt Sage mit (den String) ‚t‘ als
Unbestimmte bei Ausgaben auf dem Bildschirm zu verwenden.
Jedoch definiert dies nicht das Symbol t zur Verwendung in Sage,
Sie können es also nicht verwenden um ein Polynom (wie
z.B. \(t^2+1\)) einzugeben, welches zu R gehört.
Eine alternative Möglichkeit ist:
sage: S = QQ['t']
sage: S == R
True
Dies verhält sich bezüglich t gleich.
Eine dritte sehr bequeme Möglichkeit ist:
sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)
oder
sage: R.<t> = QQ['t']
oder sogar nur
sage: R.<t> = QQ[]
Dies hat den zusätzlichen Nebeneffekt, dass die Variable t als
Unbestimmte des Polynomrings definiert wird, Sie können daher nun wie
folgt auf einfache Weise Elemente von R definieren. (Beachten Sie,
dass die dritte Möglichkeit sehr ähnlich zu der Konstruktor-Notation
in Magma ist und, genau wie in Magma, kann Sie dazu verwendet werden
eine Vielzahl von Objekten zu definieren.)
sage: poly = (t+1) * (t+2); poly
t^2 + 3*t + 2
sage: poly in R
True
Unabhängig davon wie Sie den Polynomring definieren, können Sie die Unbestimmte als den \(0^{th}\) Erzeuger zurückerhalten:
sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: t = R.0
sage: t in R
True
Beachten Sie, dass Sie bei den komplexen Zahlen eine ähnliche
Konstruktion verwenden können: Sie können die komplexen Zahlen
ansehen, als wären sie von dem Symbol i über den reellen Zahlen
erzeugt; wir erhalten also Folgendes:
sage: CC
Complex Field with 53 bits of precision
sage: CC.0 # 0th generator of CC
1.00000000000000*I
Beim Erzeugen von Polynomringen kann man sowohl den Ring, als auch den Erzeuger, oder nur den Erzeuger wie folgt erhalten:
sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: t = QQ['t'].gen()
sage: R, t = objgen(QQ['t'])
sage: t = gen(QQ['t'])
Schließlich treiben wir etwas Arithmetik in \(\QQ[t]\).
sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
sage: f^2
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
sage: g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9
+ 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
sage: F = factor(g); F
(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
sage: F.unit()
7
sage: list(F)
[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]
Beachten Sie, dass die Faktorisierung die Einheit korrekt in Betracht zieht und ausgibt.
Falls Sie zum Beispiel die R.cyclotomic_polynomial-Funktion in
einem Forschungsprojekt viel verwenden würden, sollten Sie neben Sage
zu zitieren, auch versuchen herauszufinden welche Komponente von Sage verwendet
wird um das zyklotomische Polynom zu berechnen, und diese ebenso angeben.
In diesen Fall sehen Sie im Quellcode der Funktion, welchen Sie mit
R.cyclotomic_polynomial?? erhalten schnell die Zeile f =
pari.polcyclo(n), was bedeutet, dass PARI verwendet wird um das
zyklotomische Polynom zu berechnen. Zitieren Sie PARI ebenso in Ihrer Arbeit.
Wenn Sie zwei Polynome teilen, erzeugen Sie ein Element des Quotientenkörpers (den Sage automatisch erzeugt).
sage: x = QQ['x'].0
sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
sage: h = f/g; h
(x^3 + 1)/(x^2 - 17)
sage: h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
Mit Hilfe von Laurentreihen können Sie die Reihenentwicklung im
Quotientenkörper von QQ[x] berechnen:
sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field
sage: 1/(1-x) + O(x^10)
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)
Wenn wir die Variablen unterschiedlich benennen, erhalten wir einen unterschiedlichen Polynomring.
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
sage: x == y
False
sage: R == S
False
sage: R(y)
x
sage: R(y^2 - 17)
x^2 - 17
Der Ring wird durch die Variable bestimmt. Beachten Sie, dass das
Erzeugen eines weiteren Rings mit einer x genannten Variablen
keinen unterschiedlichen Ring zurück gibt.
sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: R == T
True
sage: R is T
True
sage: R.0 == T.0
True
Sage unterstützt auch Ringe von Potenz- und Laurentreihen über beliebigen Ringen. Im folgenden Beispiel erzeugen wir ein Element aus \(\GF{7}[[T]]\) und teilen es um ein Element aus \(\GF{7}((T))\) zu erhalten.
sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
sage: f = T + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
sage: f^3
T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
sage: 1/f
T^-1 + 4 + T + O(T^2)
sage: parent(1/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7
Sie können einen Potenzreihenring auch mit der Kurzschreibweise, doppelter eckiger Klammern erzeugen:
sage: GF(7)[['T']]
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
Polynome in mehreren Unbestimmten#
Um mit Polynomringen in mehreren Variablen zu arbeiten, deklarieren wir zunächst den Ring und die Variablen.
sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # here, 3 = number of variables
sage: R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
Genau wie bei dem Definieren von Polynomringen in einer Variablen, gibt es mehrere Möglichkeiten:
sage: GF(5)['z0, z1, z2']
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
Falls die Variablennamen nur einen Buchstaben lang sein sollen, können Sie auch die folgende Kurzschreibweise verwenden:
sage: PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz')
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5
Als nächstes treiben wir wieder etwas Arithmetik.
sage: z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()
sage: z
(z0, z1, z2)
sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2
z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2
Sie können auch eine mathematisch etwas weiter verbreitete Schreibweise verwenden um den Polynomring zu definieren.
sage: R = GF(5)['x,y,z']
sage: x,y,z = R.gens()
sage: QQ['x']
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: QQ['x,y'].gens()
(x, y)
sage: QQ['x'].objgens()
(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))
Polynomringe in mehreren Variablen sind in Sage mit Hilfe von Python-Dictionaries und der „distributiven Darstellung“ eines Polynoms implementiert. Sage benutzt Singular [Si], zum Beispiel bei der Berechnung von ggTs und Gröbnerbasen von Idealen.
sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
sage: g = x^2*y^2
sage: f.gcd(g)
x^2
Als nächstes erstellen wir das Ideal \((f,g)\) welches von
\(f\) und \(g\) erzeugt wird, indem wir einfach (f,g) mit
R multiplizieren (wir könnten auch ideal([f,g]) oder
ideal(f,g)) schreiben.
sage: I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field
sage: B = I.groebner_basis(); B
[x^6, x^2*y^2]
sage: x^2 in I
False
Übrigens ist die obige Gröbnerbasis keine Liste, sondern eine unveränderliche Folge. Das bedeutet das sie die Attribute „universe“ und „parent“ besitzt und nicht verändert werden kann. (Dies ist nützlich, da nach dem Ändern der Basis andere Routinen, welche die Gröbnerbasis verwenden, nicht mehr funktionieren könnten)
sage: B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage: B[1] = x
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.
Etwas (damit meinen wir: nicht so viel wie wir gerne hätten) kommutative Algebra ist in Sage, mit Hilfe von Singular implementiert, vorhanden. Zum Beispiel können wir die Zerlegung in Primideale und die assoziierten Primideale von \(I\) berechnen.
sage: I.primary_decomposition()
[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
sage: I.associated_primes()
[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]