Set of homomorphisms

AUTHORS:

  • Volker Braun and Ben Hutz (2014): initial version

  • Raghukul Raman (2018): code cleanup and added support for rational field

class sage.schemes.product_projective.homset.SchemeHomset_points_product_projective_spaces_field(X, Y, category=None, check=True, base=Integer Ring)[source]

Bases: SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring

points(**kwds)[source]

Return some or all rational points of a projective scheme.

Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base ring is a field or not.

For number fields, this uses the Doyle-Krumm algorithm 4 (algorithm 5 for imaginary quadratic) for computing algebraic numbers up to a given height [DK2013] or uses the chinese remainder theorem and points modulo primes for larger bounds.

The algorithm requires floating point arithmetic, so the user is allowed to specify the precision for such calculations. Additionally, due to floating point issues, points slightly larger than the bound may be returned. This can be controlled by lowering the tolerance.

INPUT:

  • bound – a real number

  • tolerance – a rational number in (0,1] used in Doyle-Krumm algorithm 4

  • precision – the precision to use for computing the elements of bounded height of number fields

  • algorithm – either 'sieve' or 'enumerate' algorithms can be used over \(\QQ\). If not specified, 'enumerate' is used only for small height bounds

OUTPUT: list of rational points of the projective scheme

EXAMPLES:

sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ)
sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2])
sage: X(P.base_ring()).points()                                             # needs sage.libs.singular
[]

>>> from sage.all import *
>>> P = ProductProjectiveSpaces([Integer(1), Integer(1)], QQ, names=('x', 'y', 'z', 'w',)); (x, y, z, w,) = P._first_ngens(4)
>>> X = P.subscheme([x - y, z**Integer(2) - Integer(2)*w**Integer(2)])
>>> X(P.base_ring()).points()                                             # needs sage.libs.singular
[]


sage: u = QQ['u'].0
sage: K = NumberField(u^2 - 2, 'v')                                         # needs sage.rings.number_field
sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K)                      # needs sage.rings.number_field
sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2])
sage: sorted(X(P.base_ring()).points())                                     # needs sage.libs.singular sage.rings.number_field
[(-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1)]

>>> from sage.all import *
>>> u = QQ['u'].gen(0)
>>> K = NumberField(u**Integer(2) - Integer(2), 'v')                                         # needs sage.rings.number_field
>>> P = ProductProjectiveSpaces([Integer(1), Integer(1)], K, names=('x', 'y', 'z', 'w',)); (x, y, z, w,) = P._first_ngens(4)# needs sage.rings.number_field
>>> X = P.subscheme([x**Integer(2) - y**Integer(2), z**Integer(2) - Integer(2)*w**Integer(2)])
>>> sorted(X(P.base_ring()).points())                                     # needs sage.libs.singular sage.rings.number_field
[(-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1)]


sage: u = QQ['u'].0
sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v')                                         # needs sage.rings.number_field
sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K)                      # needs sage.rings.number_field
sage: P(K).points(bound=1)                                                  # needs sage.libs.singular sage.rings.number_field
[(-1 : 1 , -1 : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1),
 (-1 : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1),
 (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 1 : 1),
 (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1),
 (0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 , 1 : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1),
 (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 1 : 1),
 (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1),
 (1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1),
 (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 1)]

>>> from sage.all import *
>>> u = QQ['u'].gen(0)
>>> K = NumberField(u**Integer(2) + Integer(1), 'v')                                         # needs sage.rings.number_field
>>> P = ProductProjectiveSpaces([Integer(1), Integer(1)], K, names=('x', 'y', 'z', 'w',)); (x, y, z, w,) = P._first_ngens(4)# needs sage.rings.number_field
>>> P(K).points(bound=Integer(1))                                                  # needs sage.libs.singular sage.rings.number_field
[(-1 : 1 , -1 : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1),
 (-1 : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1),
 (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 1 : 1),
 (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1),
 (0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 , 1 : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1),
 (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 1 : 1),
 (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1),
 (1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1),
 (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 1)]


sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3))
sage: P(P.base_ring()).points()
[(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1),
 (0 : 1 : 0 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 2 : 1),
 (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1),
 (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1),
 (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1),
 (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (1 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1),
 (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1),
 (1 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 2 : 1),
 (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1),
 (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1),
 (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (2 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1),
 (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1),
 (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1)]

>>> from sage.all import *
>>> P = ProductProjectiveSpaces([Integer(2), Integer(1)], GF(Integer(3)), names=('x', 'y', 'z', 'u', 'v',)); (x, y, z, u, v,) = P._first_ngens(5)
>>> P(P.base_ring()).points()
[(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1),
 (0 : 1 : 0 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 2 : 1),
 (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1),
 (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1),
 (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1),
 (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (1 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1),
 (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1),
 (1 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 2 : 1),
 (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1),
 (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1),
 (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (2 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1),
 (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1),
 (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1)]


sage: PP.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], QQ)
sage: X = PP.subscheme([x + y, u*u - v*u])
sage: X.rational_points(bound=2)                                            # needs sage.libs.singular
[(-2 : 2 : 1 , 0 : 1),
 (-2 : 2 : 1 , 1 : 1),
 (-1 : 1 : 0 , 0 : 1),
 (-1 : 1 : 0 , 1 : 1),
 (-1 : 1 : 1 , 0 : 1),
 (-1 : 1 : 1 , 1 : 1),
 (-1/2 : 1/2 : 1 , 0 : 1),
 (-1/2 : 1/2 : 1 , 1 : 1),
 (0 : 0 : 1 , 0 : 1),
 (0 : 0 : 1 , 1 : 1),
 (1/2 : -1/2 : 1 , 0 : 1),
 (1/2 : -1/2 : 1 , 1 : 1),
 (1 : -1 : 1 , 0 : 1),
 (1 : -1 : 1 , 1 : 1),
 (2 : -2 : 1 , 0 : 1),
 (2 : -2 : 1 , 1 : 1)]

>>> from sage.all import *
>>> PP = ProductProjectiveSpaces([Integer(2), Integer(1)], QQ, names=('x', 'y', 'z', 'u', 'v',)); (x, y, z, u, v,) = PP._first_ngens(5)
>>> X = PP.subscheme([x + y, u*u - v*u])
>>> X.rational_points(bound=Integer(2))                                            # needs sage.libs.singular
[(-2 : 2 : 1 , 0 : 1),
 (-2 : 2 : 1 , 1 : 1),
 (-1 : 1 : 0 , 0 : 1),
 (-1 : 1 : 0 , 1 : 1),
 (-1 : 1 : 1 , 0 : 1),
 (-1 : 1 : 1 , 1 : 1),
 (-1/2 : 1/2 : 1 , 0 : 1),
 (-1/2 : 1/2 : 1 , 1 : 1),
 (0 : 0 : 1 , 0 : 1),
 (0 : 0 : 1 , 1 : 1),
 (1/2 : -1/2 : 1 , 0 : 1),
 (1/2 : -1/2 : 1 , 1 : 1),
 (1 : -1 : 1 , 0 : 1),
 (1 : -1 : 1 , 1 : 1),
 (2 : -2 : 1 , 0 : 1),
 (2 : -2 : 1 , 1 : 1)]

better to enumerate with low codimension:

sage: PP.<x,y,z,u,v,a,b,c> = ProductProjectiveSpaces([2, 1, 2], QQ)
sage: X = PP.subscheme([x*u^2*a, b*z*u*v, z*v^2*c])
sage: len(X.rational_points(bound=1, algorithm='enumerate'))                # needs sage.libs.singular
232

>>> from sage.all import *
>>> PP = ProductProjectiveSpaces([Integer(2), Integer(1), Integer(2)], QQ, names=('x', 'y', 'z', 'u', 'v', 'a', 'b', 'c',)); (x, y, z, u, v, a, b, c,) = PP._first_ngens(8)
>>> X = PP.subscheme([x*u**Integer(2)*a, b*z*u*v, z*v**Integer(2)*c])
>>> len(X.rational_points(bound=Integer(1), algorithm='enumerate'))                # needs sage.libs.singular
232
class sage.schemes.product_projective.homset.SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring(X, Y, category=None, check=True, base=Integer Ring)[source]

Bases: SchemeHomset_points

Set of rational points of a product of projective spaces.

INPUT: See SchemeHomset_generic.

EXAMPLES:

sage: from sage.schemes.product_projective.homset import SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring
sage: SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring(
....:     Spec(QQ), ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ, 'z'))
Set of rational points of Product of projective spaces P^1 x P^1 over Rational Field

>>> from sage.all import *
>>> from sage.schemes.product_projective.homset import SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring
>>> SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring(
...     Spec(QQ), ProductProjectiveSpaces([Integer(1), Integer(1)], QQ, 'z'))
Set of rational points of Product of projective spaces P^1 x P^1 over Rational Field